Статика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Векторы: скалярное и векторное произведения

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Единичный вектор: û = a/|a|
Компоненты по углу: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярное произведение: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярная проекция a на b: a·b/|b|
Работа: W = F·d
Векторное произведение: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площади: параллелограмм |a × b|, треугольник ½|a × b|
Момент относительно O: M_O = r × F, r = A − O
Объём параллелепипеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Записывайте каждый вектор в компонентах; для силы, заданной модулем и углом, используйте F·cos θ и F·sin θ.
Для длин и направлений используйте модуль √(x² + y² + z²) и единичный вектор a/|a|.
Скалярное произведение применяйте для углов, проекций, перпендикулярности и работы: a·b = |a||b|cos θ.
Векторное произведение применяйте для перпендикулярных векторов, площадей и моментов: аккуратно записывайте три компоненты, сохраняя порядок a × b.

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Рамы и механизмы

Равновесие каждого элемента: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двухсиловой элемент: сила направлена вдоль прямой, проходящей через два его шарнира
Сила в шарнире: равны по модулю и противоположны по направлению на двух соединяемых ими элементах
Модуль силы в шарнире: F = √(F_x² + F_y²)
Рычаг, плоскогубцы, угловой рычаг: F_in·a = F_out·b
Коленно-рычажный механизм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки

Метод

Нарисуйте всю конструкцию и найдите опорные реакции, если неизвестных не больше трёх.
Найдите двухсиловые элементы: они нагружены только в двух шарнирах, поэтому их сила направлена вдоль прямой между шарнирами.
Разберите раму на части и нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах в местах соединения элементов.
Для каждого элемента возьмите моменты относительно шарнира с неизвестными силами, затем используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0; составляющие объедините в модуль в конце.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Тренировочные задачи

1.Векторы: скалярное и векторное произведенияСредняя

Найдите скалярное произведение a·b векторов a = (−2, 7, −7) и b = (7, 1, 7).

a = (−2, 7, −7)b = (7, 1, 7)

a·b =

2.Векторы: скалярное и векторное произведенияСложная

Для a = (−5, 2, −3) и b = (−1, 6, −1) найдите y-компоненту (a × b)_y векторного произведения a × b.

a = (−5, 2, −3)b = (−1, 6, −1)

(a × b)_y =

3.Опорные реакции балокСредняя

Консольная балка защемлена в стене в точке A. Она нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине и сосредоточенной силой P на расстоянии 8 m от стены. Найдите вертикальную реакцию R_A в заделке.

L = 8 mP = 65 kN в 8 mw = 2 kN/m от 0 до 8 m

R_A = kN

4.Опорные реакции балокСложная

Составная балка защемлена в стене в точке A, имеет промежуточный шарнир в C (на расстоянии 3,5 m от A) и опирается на подвижную опору в D (на расстоянии 6 m от A). Она нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии 5 m от A, равномерно распределённой нагрузкой w по всему участку CD и сосредоточенной силой Q на расстоянии 1 m от A. Найдите реакцию R_D подвижной опоры.

AC = 3,5 mAD = 6 mP = 80 kN в 5 mw = 10 kN/m от 3,5 до 6 mQ = 20 kN в 1 m

R_D = kN

5.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

D: 20 kN ↓F: 10 kN ↓G: 15 kN ↓H: 10 kN ↓

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент BG
13элемент DG

6.Ферма: метод вырезания узловСложная

B: 10 kN ↓D: 35 kN ↓G: 15 kN ↓H: 40 kN ↓H: 10 kN ←

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент BG
13элемент DG

7.Рамы и механизмыСредняя

Угловой рычаг на рисунке поворачивается вокруг шарнира O. Вертикальная сила 100 N в точке A (120 mm от O) уравновешивается горизонтальной силой в точке B (75 mm выше O). Найдите модуль реакции F_O в шарнире.

F = 100 NOA = 120 mmOB = 75 mm

F_O = N

8.Рамы и механизмыСложная

Коленно-рычажный пресс имеет два равных звена AB и BC длиной 150 mm между шарнирами каждое. Шарнир B находится на 15 mm выше прямой AC. Какая направленная вниз сила F в точке B создаёт горизонтальную силу прессования 3000 N на ползуне C? Трением и весом пренебрегите.

Q = 3000 NAB = BC = 150 mmh = 15 mm

F = N

9.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Консоль защемлена в A. Она нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине и сосредоточенной силой P на расстоянии 4,5 m от A. Найдите изгибающий момент M_A в заделке A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 5 mP = 15 kN в 4,5 mw = 3 kN/m от 0 до 5 m

M_A = kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 4,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 5 mP = 60 kN в 1 mw = 5 kN/m от 0 до 5 mx = 4,5 m

M_x = kN·m

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Найдите момент инерции I_x таврового сечения относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b_f = 160 mmt_f = 30 mmt_w = 8 mmh_w = 200 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 50 kN·m. Найдите величину напряжения изгиба σ_верх на верхнем крае.

b_f = 300 mmt_f = 25 mmt_w = 18 mmh_w = 160 mmM = 50 kN·m

σ_верх = MPa

3Растворы

1.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: a·b = −56

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Перемножьте соответствующие компоненты и сложите

a·b = (−2)·7 + 7·1 + (−7)·7 = (−14) + 7 + (−49) = −56

Ответ

a·b = −56

Отрицательное: угол между векторами больше 90°.

2.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: (a × b)_y = −2

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Векторное произведение по компонентам

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 2·(−1) − (−3)·6 = 16

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−3)·(−1) − (−5)·(−1) = −2

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−5)·6 − 2·(−1) = −28

Искомая компонента

(a × b)_y = −2

Ответ

(a × b)_y = −2

Проверка: a × b перпендикулярно обоим векторам, поэтому его скалярные произведения с a и с b равны нулю.

3.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 81 kN

Равновесие консоли: заделка может давить вверх и препятствовать повороту, поэтому она даёт вертикальную реакцию R_A и реактивный момент M_A. ΣF_y = 0 даёт R_A, а моменты относительно стены дают M_A = Σ(нагрузка × расстояние от стены). Распределённая нагрузка действует как её равнодействующая, приложенная в центре тяжести эпюры нагрузки.

Равнодействующая распределённой нагрузки

W = 2·8 = 16 kN, x̄ = 4 m

Равновесие по вертикали

R_A = P + W = 65 + 16 = 81 kN

Ответ

R_A = 81 kN

4.Опорные реакции балок

Ответ: R_D = 60,5 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию. Промежуточный шарнир не может передавать изгибающий момент, что даёт одно дополнительное уравнение: момент относительно шарнира сил, действующих с любой его стороны, равен нулю.

Часть CD

В шарнире момента нет, поэтому моменты относительно C для одной только части CD должны уравновешиваться.

W = 10·2,5 = 25 kN в 1,25 m от C

ΣM_C = 0: R_D·2,5 = 80·1,5 + 25·1,25

R_D = 60,5 kN

V_C = 105 − 60,5 = 44,5 kN

Ответ

R_D = 60,5 kN

5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел C

BC и CD лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 22,5 kN (T), BC: 35 kN (T), CD: 35 kN (T), DE: 32,5 kN (T), FG: 22,5 kN (C), GH: 32,5 kN (C), AF: 31,82 kN (C), HE: 45,96 kN (C), BF: 12,5 kN (T), CG: 0, DH: 22,5 kN (T), BG: 17,68 kN (C), DG: 3,536 kN (C)

Ответ

Нулевой элемент: CG

6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Узел C

BC и CD лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 26,25 kN (T), BC: 52,5 kN (T), CD: 52,5 kN (T), DE: 63,75 kN (T), FG: 36,25 kN (C), GH: 73,75 kN (C), AF: 51,27 kN (C), HE: 90,16 kN (C), BF: 36,25 kN (T), CG: 0, DH: 23,75 kN (T), BG: 37,12 kN (C), DG: 15,91 kN (T)

Ответ

Нулевой элемент: CG

7.Рамы и механизмы

Ответ: F_O = 188,7 N

Механизмы: плоскогубцы, рычаги, шарнирные системы и зажимы преобразуют входную силу в большую или иначе направленную выходную. Нарисуйте одну часть как свободное тело и возьмите моменты относительно её оси: сила в шарнире выпадает, а F_in·a = F_out·b даёт выигрыш в силе a/b. Сила в шарнире затем следует из ΣF = 0 для той же части. В коленно-рычажном механизме два звена сходятся под малым углом θ; каждое звено — двухсиловой элемент, поэтому малая сила F в узле создаёт большие силы в звеньях F/(2 sin θ) и зажимную силу F/(2 tan θ).

Сила в B

Q = 100·120/75 = 160 N

Реакция в шарнире

O_x = 160 N, O_y = 100 N

F_O = √(160² + 100²) = 188,7 N

Ответ

F_O = 188,7 N

8.Рамы и механизмы

Ответ: F = 603 N

Угол звена

sin θ = 15/150 = 0,1, θ = 5,739°

Сила в звене

F_link = Q/cos θ = 3015 N

Сила в B

F = 2·F_link·sin θ = 2·3000·tan θ = 603 N

Ответ

F = 603 N

9.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_A = −105 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Оставляем часть со свободным концом

P: −15·4,5 = −67,5 kN·m

w: −3·5²/2 = −37,5 kN·m

M_A = −67,5 − 37,5 = −105 kN·m

Ответ

M_A = −105 kN·m

Знак минус означает, что растянута верхняя грань.

10.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 11,63 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN, приложена в x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 60·1 + 5·5·2,5

R_B = 122,5/5 = 24,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 85 − 24,5 = 60,5 kN

Рассеките в x = 4,5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 60,5·4,5 − 60·(4,5 − 1) − 5·4,5·2,25 = 11,63 kN·m

Ответ

M_x = 11,63 kN·m

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 21,56 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 160·30 = 4800 mm², y_f = 200 + 30/2 = 215 mm

стенка: A_w = 8·200 = 1600 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4800·215 + 1600·100)/6400 = 186,3 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 160·30³/12 + 4800·(215 − 186,3)² = 4,327 × 10⁶ mm⁴

стенка: 8·200³/12 + 1600·(100 − 186,3)² = 1,724 × 10⁷ mm⁴

I_x = 4,327 × 10⁶ + 1,724 × 10⁷ = 2,156 × 10⁷ mm⁴ = 21,56 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 21,56 × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_верх = 78,4 MPa

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 300·25 = 7500 mm², y_f = 160 + 25/2 = 172,5 mm

стенка: A_w = 18·160 = 2880 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7500·172,5 + 2880·80)/10380 = 146,8 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 300·25³/12 + 7500·(172,5 − 146,8)² = 5,331 × 10⁶ mm⁴

стенка: 18·160³/12 + 2880·(80 − 146,8)² = 1,901 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5,331 × 10⁶ + 1,901 × 10⁷ = 2,434 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

Верхний край на расстоянии h − ȳ от оси.

y = 185 − 146,8 = 38,16 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·38,16/2,434 × 10⁷ = 78,4 MPa

Ответ

σ_верх = 78,4 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics