Статика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Векторы: скалярное и векторное произведения

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Единичный вектор: û = a/|a|
Компоненты по углу: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярное произведение: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярная проекция a на b: a·b/|b|
Работа: W = F·d
Векторное произведение: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площади: параллелограмм |a × b|, треугольник ½|a × b|
Момент относительно O: M_O = r × F, r = A − O
Объём параллелепипеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Записывайте каждый вектор в компонентах; для силы, заданной модулем и углом, используйте F·cos θ и F·sin θ.
Для длин и направлений используйте модуль √(x² + y² + z²) и единичный вектор a/|a|.
Скалярное произведение применяйте для углов, проекций, перпендикулярности и работы: a·b = |a||b|cos θ.
Векторное произведение применяйте для перпендикулярных векторов, площадей и моментов: аккуратно записывайте три компоненты, сохраняя порядок a × b.

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Рамы и механизмы

Равновесие каждого элемента: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двухсиловой элемент: сила направлена вдоль прямой, проходящей через два его шарнира
Сила в шарнире: равны по модулю и противоположны по направлению на двух соединяемых ими элементах
Модуль силы в шарнире: F = √(F_x² + F_y²)
Рычаг, плоскогубцы, угловой рычаг: F_in·a = F_out·b
Коленно-рычажный механизм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки

Метод

Нарисуйте всю конструкцию и найдите опорные реакции, если неизвестных не больше трёх.
Найдите двухсиловые элементы: они нагружены только в двух шарнирах, поэтому их сила направлена вдоль прямой между шарнирами.
Разберите раму на части и нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах в местах соединения элементов.
Для каждого элемента возьмите моменты относительно шарнира с неизвестными силами, затем используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0; составляющие объедините в модуль в конце.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Тренировочные задачи

1.Векторы: скалярное и векторное произведенияСредняя

Постоянная сила F = (20, 30, 25) N действует на тело, которое движется по прямой из точки A(−1, 5, −3) в точку B(5, −3, −1). Координаты даны в метрах. Найдите работу W этой силы.

F = (20, 30, 25) NA(−1, 5, −3) mB(5, −3, −1) m

W = J

2.Векторы: скалярное и векторное произведенияСложная

Найдите площадь A параллелограмма, построенного на a = (5, −5, −3) и b = (6, 6, −5).

a = (5, −5, −3)b = (6, 6, −5)

A =

3.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка (неподвижный шарнир в A, подвижная опора в B) нагружена линейно изменяющейся нагрузкой, убывающей от 8 kN/m в A до нуля в B. Кроме того, на расстоянии 4 m от A действует сосредоточенная сила P. Найдите вертикальную опорную реакцию R_A.

L = 8 mw₀ = 8 kN/mP = 25 kN в 4 m

R_A = kN

4.Опорные реакции балокСложная

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_B.

L = 5 mP = 40 kN в 1,5 mw = 10 kN/m от 1 до 4 m

R_B = kN

5.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

C: 30 kN ↓D: 20 kN ↓G: 35 kN ↓

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент FC
13элемент HC

6.Ферма: метод вырезания узловСложная

F: 30 kN ↓G: 40 kN ↓H: 30 kN ↓H: 10 kN ←

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент BG
13элемент DG

7.Рамы и механизмыСредняя

В показанном коленно-рычажном зажиме два равных звена AB и BC соединены шарниром в B, и каждое составляет угол 8° с прямой AC. В точке B приложена направленная вниз сила 200 N. Ползун C прижимает заготовку. Пренебрегая трением и весом, найдите горизонтальную зажимную силу Q.

F = 200 Nθ = 8°

Q = N

8.Рамы и механизмыСложная

Коленно-рычажный пресс имеет два равных звена AB и BC длиной 100 mm между шарнирами каждое. Шарнир B находится на 10 mm выше прямой AC. Какая направленная вниз сила F в точке B создаёт горизонтальную силу прессования 3000 N на ползуне C? Трением и весом пренебрегите.

Q = 3000 NAB = BC = 100 mmh = 10 mm

F = N

9.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена сосредоточенным моментом M₀ = 25 kN·m, действующим по часовой стрелке, в точке x = 3 m от A; других нагрузок нет. Найдите изгибающий момент M_x сразу слева от сосредоточенного момента. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 10 mM₀ = 25 kN·m по часовой стрелке, в точке 3 m

M_x = kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 2 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 4 mP = 45 kN в 2 mw = 10 kN/m от 0 до 4 mx = 2 m

M_x = kN·m

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Круглая труба имеет наружный диаметр D = 130 mm и внутренний диаметр d = 102 mm. Найдите его радиус инерции r относительно горизонтальной центральной оси.

D = 130 mmd = 102 mm

r = mm

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 25 kN·m. Найдите напряжение изгиба σ_низ на нижнем крае.

b_f = 240 mmt_f = 25 mmt_w = 18 mmh_w = 140 mmM = 25 kN·m

σ_низ = MPa

3Растворы

1.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: W = −70 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Перемещение

d = B − A = (5, −3, −1) − (−1, 5, −3) = (6, −8, 2) m

Работа

W = F·d = 20·6 + 30·(−8) + 25·2 = −70 J

Ответ

W = −70 J

Отрицательная работа: сила действует в основном против движения.

2.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: A = 74,15

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Векторное произведение

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−5)·(−5) − (−3)·6 = 43

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−3)·6 − 5·(−5) = 7

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 5·6 − (−5)·6 = 60

Площадь

A = |a × b| = √(43² + 7² + 60²) = 74,15

Ответ

A = 74,15

3.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 33,83 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.

Равнодействующая треугольной нагрузки

W = ½·8·8 = 32 kN

x̄ = L/3 = 2,667 m

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 32·2,667 + 25·4

R_B = 23,17 kN

R_A = 57 − 23,17 = 33,83 kN

Ответ

R_A = 33,83 kN

4.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = 27 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 10·3 = 30 kN, приложена в x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 40·1,5 + 10·3·2,5

R_B = 135/5 = 27 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 27 = 43 kN

Ответ

R_B = 27 kN

5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент BF

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел B

AB и BC лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только BF.

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 28,13 kN (T), BC: 28,13 kN (T), CD: 35,62 kN (T), DE: 35,62 kN (T), FG: 56,25 kN (C), GH: 56,25 kN (C), AF: 46,88 kN (C), HE: 59,37 kN (C), BF: 0, CG: 35 kN (C), DH: 20 kN (T), FC: 46,88 kN (T), HC: 34,37 kN (T)

Ответ

Нулевой элемент: BF

6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Узел C

BC и CD лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 59,17 kN (T), BC: 88,33 kN (T), CD: 88,33 kN (T), DE: 64,17 kN (T), FG: 69,17 kN (C), GH: 74,17 kN (C), AF: 86,46 kN (C), HE: 80,21 kN (C), BF: 21,88 kN (T), CG: 0, DH: 18,13 kN (T), BG: 36,46 kN (C), DG: 30,21 kN (C)

Ответ

Нулевой элемент: CG

7.Рамы и механизмы

Ответ: Q = 711,5 N

Механизмы: плоскогубцы, рычаги, шарнирные системы и зажимы преобразуют входную силу в большую или иначе направленную выходную. Нарисуйте одну часть как свободное тело и возьмите моменты относительно её оси: сила в шарнире выпадает, а F_in·a = F_out·b даёт выигрыш в силе a/b. Сила в шарнире затем следует из ΣF = 0 для той же части. В коленно-рычажном механизме два звена сходятся под малым углом θ; каждое звено — двухсиловой элемент, поэтому малая сила F в узле создаёт большие силы в звеньях F/(2 sin θ) и зажимную силу F/(2 tan θ).

Равновесие шарнира B

2·F_link·sin 8° = 200

F_link = 718,5 N

Зажимная сила

Q = F_link·cos 8° = 200/(2·tan 8°) = 711,5 N

Ответ

Q = 711,5 N

Отношение сил Q/F = 3,558 неограниченно растёт по мере выпрямления звеньев.

8.Рамы и механизмы

Ответ: F = 603 N

Угол звена

sin θ = 10/100 = 0,1, θ = 5,739°

Сила в звене

F_link = Q/cos θ = 3015 N

Сила в B

F = 2·F_link·sin θ = 2·3000·tan θ = 603 N

Ответ

F = 603 N

9.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = −7,5 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Приложенный сосредоточенный момент вызывает на эпюре изгибающих моментов скачок, равный его величине.

Опорные реакции

Моменты относительно A, против часовой стрелки положительны: R_B·L − M₀ = 0. Равновесие по вертикали: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 25/10 = 2,5 kN (вверх)

R_A = −R_B = −2,5 kN (вниз)

Сечение сразу слева от сосредоточенного момента

Левая часть содержит только R_A.

M_x = R_A·a = −2,5·3 = −7,5 kN·m

Ответ

M_x = −7,5 kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 65 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 10·4 = 40 kN, приложена в x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 45·2 + 10·4·2

R_B = 170/4 = 42,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 85 − 42,5 = 42,5 kN

Рассеките в x = 2 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 42,5·2 − 10·2·1 = 65 kN·m

Ответ

M_x = 65 kN·m

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: r = 41,31 mm

Момент инерции сечения: для прямоугольника относительно его собственной центральной оси I = bh³/12, а относительно основания bh³/3 (теорема о параллельном переносе осей I = I_c + A·d²). Отверстие учитывают, вычитая его I, если обе части отнесены к одной и той же оси. Момент сопротивления сечения S = I/c, где c — расстояние до крайнего волокна. Радиус инерции r = √(I/A) — это расстояние, на котором вся площадь дала бы тот же I; он используется при расчёте колонн на устойчивость.

Площадь и момент инерции нетто

A = π(D² − d²)/4 = 5102 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 8,706 × 10⁶ mm⁴

Радиус инерции

r = √(I/A) = √(8,706 × 10⁶/5102) = 41,31 mm

Ответ

r = 41,31 mm

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_низ = 194 MPa

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 240·25 = 6000 mm², y_f = 140 + 25/2 = 152,5 mm

стенка: A_w = 18·140 = 2520 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6000·152,5 + 2520·70)/8520 = 128,1 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 240·25³/12 + 6000·(152,5 − 128,1)² = 3,885 × 10⁶ mm⁴

стенка: 18·140³/12 + 2520·(70 − 128,1)² = 1,262 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,885 × 10⁶ + 1,262 × 10⁷ = 1,651 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

Нижний край на расстоянии ȳ от оси.

y = 128,1 mm

σ = M·y/I = 2,5 × 10⁷·128,1/1,651 × 10⁷ = 194 MPa

Ответ

σ_низ = 194 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics