Статика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Векторы: скалярное и векторное произведения

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Единичный вектор: û = a/|a|
Компоненты по углу: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярное произведение: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярная проекция a на b: a·b/|b|
Работа: W = F·d
Векторное произведение: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площади: параллелограмм |a × b|, треугольник ½|a × b|
Момент относительно O: M_O = r × F, r = A − O
Объём параллелепипеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Записывайте каждый вектор в компонентах; для силы, заданной модулем и углом, используйте F·cos θ и F·sin θ.
Для длин и направлений используйте модуль √(x² + y² + z²) и единичный вектор a/|a|.
Скалярное произведение применяйте для углов, проекций, перпендикулярности и работы: a·b = |a||b|cos θ.
Векторное произведение применяйте для перпендикулярных векторов, площадей и моментов: аккуратно записывайте три компоненты, сохраняя порядок a × b.

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Рамы и механизмы

Равновесие каждого элемента: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двухсиловой элемент: сила направлена вдоль прямой, проходящей через два его шарнира
Сила в шарнире: равны по модулю и противоположны по направлению на двух соединяемых ими элементах
Модуль силы в шарнире: F = √(F_x² + F_y²)
Рычаг, плоскогубцы, угловой рычаг: F_in·a = F_out·b
Коленно-рычажный механизм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки

Метод

Нарисуйте всю конструкцию и найдите опорные реакции, если неизвестных не больше трёх.
Найдите двухсиловые элементы: они нагружены только в двух шарнирах, поэтому их сила направлена вдоль прямой между шарнирами.
Разберите раму на части и нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах в местах соединения элементов.
Для каждого элемента возьмите моменты относительно шарнира с неизвестными силами, затем используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0; составляющие объедините в модуль в конце.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Тренировочные задачи

1.Векторы: скалярное и векторное произведенияСредняя

Постоянная сила F = (15, −30, −25) N действует на тело, которое движется по прямой из точки A(2, −3, −3) в точку B(−1, −1, −3). Координаты даны в метрах. Найдите работу W этой силы.

F = (15, −30, −25) NA(2, −3, −3) mB(−1, −1, −3) m

W = J

2.Векторы: скалярное и векторное произведенияСложная

Сила F = (60, 40, 50) N действует в точке A(4, −4, 0). Координаты даны в метрах. Найдите x-компоненту M_x момента силы относительно начало координат O(0, 0, 0).

F = (60, 40, 50) NA(4, −4, 0) mO(0, 0, 0) m

M_x = N·m

3.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_B.

L = 6 mP₁ = 60 kN в 2 mP₂ = 55 kN в 5 m

R_B = kN

4.Опорные реакции балокСложная

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_A.

L = 6 mP = 10 kN в 4 mw = 12 kN/m от 2 до 5 m

R_A = kN

5.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Методом вырезания узлов найдите усилие F_BC в стержне BC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 8 mвысота = 4 mB на расстоянии 3 m от Aвертикальная нагрузка = 55 kN

F_BC = kN

6.Ферма: метод вырезания узловСложная

Методом вырезания узлов найдите усилие F_AB в стержне AB. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 4 mвысота = 3 mB на расстоянии 1 m от Aвертикальная нагрузка = 55 kNгоризонтальная нагрузка = 30 kN →

F_AB = kN

7.Рамы и механизмыСредняя

Рама на рисунке имеет шарниры в A, B и C; A и C закреплены на земле на расстоянии 5 m друг от друга, а B находится на высоте 2 m над землёй и на 0,75 m правее A. Вертикальная нагрузка 8 kN действует на элемент AB в точке K на расстоянии 0,45 m (по горизонтали) от A. Найдите силу F_BC в элементе BC.

P = 8 kNL = 5 mH = 2 mгоризонтальное расстояние от A до B = 0,75 mгоризонтальное расстояние от A до K = 0,45 m

F_BC = kN

8.Рамы и механизмыСложная

A-образная рама на рисунке стоит на шарнире в A и катке в B на расстоянии 4 m друг от друга. Ножки сходятся в шарнире C на высоте 4,5 m и стянуты горизонтальной перемычкой DE на высоте 1,8 m. В точке C действует горизонтальная сила 20 kN, направленная вправо. Найдите натяжение T в затяжке.

P = 20 kNAB = 4 mвысота C = 4,5 mвысота DE = 1,8 m

T = kN

9.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Консоль защемлена в A. Она нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине и сосредоточенной силой P на расстоянии 0,5 m от A. Найдите изгибающий момент M_A в заделке A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 2,5 mP = 50 kN в 0,5 mw = 4 kN/m от 0 до 2,5 m

M_A = kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 2 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 10 mP = 55 kN в 2 mw = 2 kN/m от 0 до 10 mx = 2 m

M_x = kN·m

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Найдите момент инерции I_x таврового сечения относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b_f = 160 mmt_f = 30 mmt_w = 16 mmh_w = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Сварной двутавр имеет верхнюю полку 180 × 20 mm, стенку высотой 220 mm и толщиной 10 mm и нижнюю полку 300 × 12 mm (ширина × толщина). Найдите его момент инерции I_x относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

верхняя полка: 180 × 20 mmстенка: 10 × 220 mmнижняя полка: 300 × 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Растворы

1.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: W = −105 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Перемещение

d = B − A = (−1, −1, −3) − (2, −3, −3) = (−3, 2, 0) m

Работа

W = F·d = 15·(−3) + (−30)·2 + (−25)·0 = −105 J

Ответ

W = −105 J

Отрицательная работа: сила действует в основном против движения.

2.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: M_x = −200 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Радиус-вектор из O в A

r = A − O = (4, −4, 0) − (0, 0, 0) = (4, −4, 0) m

Момент M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = (−4)·50 − 0·40 = −200 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = 0·60 − 4·50 = −200 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = 4·40 − (−4)·60 = 400 N·m

Искомая компонента

M_x = −200 N·m

Ответ

M_x = −200 N·m

3.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = 65,83 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 60·2 + 55·5

R_B = 395/6 = 65,83 kN

ΣF_y = 0: R_A = 115 − 65,83 = 49,17 kN

Ответ

R_B = 65,83 kN

4.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 18,33 kN

Расчётная схема

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 12·3 = 36 kN, приложена в x̄ = 3,5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 10·4 + 12·3·3,5

R_B = 166/6 = 27,67 kN

ΣF_y = 0: R_A = 46 − 27,67 = 18,33 kN

Ответ

R_A = 18,33 kN

5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_BC = −33,02 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 55·3 → C_y = 20,63 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 20,63 = 34,38 kN

Узел C

Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.

sin γ = 4/6,403 = 0,6247, cos γ = 5/6,403 = 0,7809

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −20,63/0,6247 = −33,02 kN

Ответ

F_BC = −33,02 kN (сжатие)

6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AB = −19,76 kN

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 55·1 + 30·3 → C_y = 36,25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 36,25 = 18,75 kN

ΣF_x = 0: A_x = −30 kN

Узел A

Предположите, что каждый стержень растянут (тянет от узла). Только AB имеет вертикальную составляющую в узле A.

sin α = 3/3,162 = 0,9487

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −18,75/0,9487 = −19,76 kN

Ответ

F_AB = −19,76 kN (сжатие)

7.Рамы и механизмы

Ответ: F_BC = 1,691 kN

Рамы и механизмы: в отличие от фермы, рама содержит хотя бы один элемент, который воспринимает силы более чем в двух точках или нагрузку между шарнирами. Сначала найдите двухсиловые элементы: у элемента, нагруженного только в двух шарнирах, сила направлена вдоль прямой через них, поэтому он добавляет одну неизвестную, а не две. Затем используйте всю конструкцию для опорных реакций, если неизвестных не больше трёх. Наконец, разберите раму: нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах на двух соединяемых ими элементах, и запишите для него ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0. Моменты относительно шарнира исключают из уравнения обе составляющие силы в этом шарнире.

Двухсиловой элемент BC

BC = √(4,25² + 2²) = 4,697 m

Вся рама: моменты относительно A

Земля действует на BC в точке C вдоль CB; её горизонтальная составляющая проходит через A, момент создаёт только вертикальная.

F_BC·(2/4,697)·5 = 8·0,45

F_BC = 1,691 kN (сжатие)

Ответ

F_BC = 1,691 kN

8.Рамы и механизмы

Ответ: T = 16,67 kN

Вся рама: моменты относительно A

B_y·4 = 20·4,5

B_y = 22,5 kN

Ножка BC: моменты относительно C

22,5·2 = T·2,7

T = 16,67 kN

Ответ

T = 16,67 kN

Положительное T означает, что затяжка растянута, как и предполагалось.

9.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_A = −37,5 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Оставляем часть со свободным концом

P: −50·0,5 = −25 kN·m

w: −4·2,5²/2 = −12,5 kN·m

M_A = −25 − 12,5 = −37,5 kN·m

Ответ

M_A = −37,5 kN·m

Знак минус означает, что растянута верхняя грань.

10.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 104 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 2·10 = 20 kN, приложена в x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 55·2 + 2·10·5

R_B = 210/10 = 21 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 21 = 54 kN

Рассеките в x = 2 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 54·2 − 2·2·1 = 104 kN·m

Ответ

M_x = 104 kN·m

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 15,05 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 160·30 = 4800 mm², y_f = 140 + 30/2 = 155 mm

стенка: A_w = 16·140 = 2240 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4800·155 + 2240·70)/7040 = 128 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 160·30³/12 + 4800·(155 − 128)² = 3,871 × 10⁶ mm⁴

стенка: 16·140³/12 + 2240·(70 − 128)² = 1,118 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,871 × 10⁶ + 1,118 × 10⁷ = 1,505 × 10⁷ mm⁴ = 15,05 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 15,05 × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 109,3 × 10⁶ mm⁴

Разбиваем на три прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

верхняя полка: A = 3600 mm², y = 242 mm

стенка: A = 2200 mm², y = 122 mm

нижняя полка: A = 3600 mm², y = 6 mm

Центр тяжести

ȳ = (3600·242 + 2200·122 + 3600·6)/9400 = 123,5 mm

Теорема о параллельном переносе осей

верхняя полка: 180·20³/12 + 3600·118,5² = 5,064 × 10⁷ mm⁴

стенка: 10·220³/12 + 2200·1,532² = 8,878 × 10⁶ mm⁴

нижняя полка: 300·12³/12 + 3600·117,5² = 4,977 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5,064 × 10⁷ + 8,878 × 10⁶ + 4,977 × 10⁷

I_x = 1,093 × 10⁸ mm⁴ = 109,3 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 109,3 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics