Статика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Векторы: скалярное и векторное произведения

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Единичный вектор: û = a/|a|
Компоненты по углу: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярное произведение: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярная проекция a на b: a·b/|b|
Работа: W = F·d
Векторное произведение: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площади: параллелограмм |a × b|, треугольник ½|a × b|
Момент относительно O: M_O = r × F, r = A − O
Объём параллелепипеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Записывайте каждый вектор в компонентах; для силы, заданной модулем и углом, используйте F·cos θ и F·sin θ.
Для длин и направлений используйте модуль √(x² + y² + z²) и единичный вектор a/|a|.
Скалярное произведение применяйте для углов, проекций, перпендикулярности и работы: a·b = |a||b|cos θ.
Векторное произведение применяйте для перпендикулярных векторов, площадей и моментов: аккуратно записывайте три компоненты, сохраняя порядок a × b.

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Рамы и механизмы

Равновесие каждого элемента: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двухсиловой элемент: сила направлена вдоль прямой, проходящей через два его шарнира
Сила в шарнире: равны по модулю и противоположны по направлению на двух соединяемых ими элементах
Модуль силы в шарнире: F = √(F_x² + F_y²)
Рычаг, плоскогубцы, угловой рычаг: F_in·a = F_out·b
Коленно-рычажный механизм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки

Метод

Нарисуйте всю конструкцию и найдите опорные реакции, если неизвестных не больше трёх.
Найдите двухсиловые элементы: они нагружены только в двух шарнирах, поэтому их сила направлена вдоль прямой между шарнирами.
Разберите раму на части и нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах в местах соединения элементов.
Для каждого элемента возьмите моменты относительно шарнира с неизвестными силами, затем используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0; составляющие объедините в модуль в конце.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Тренировочные задачи

1.Векторы: скалярное и векторное произведенияСредняя

Найдите скалярное произведение a·b векторов a = (−3, 1, 4) и b = (3, 2, −6).

a = (−3, 1, 4)b = (3, 2, −6)

a·b =

2.Векторы: скалярное и векторное произведенияСложная

Сила F = (−40, 50, −30) N действует в точке A(−3, 2, 3). Координаты даны в метрах. Найдите модуль |M| момента силы относительно начало координат O(0, 0, 0).

F = (−40, 50, −30) NA(−3, 2, 3) mO(0, 0, 0) m

|M| = N·m

3.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_B.

L = 5 mP₁ = 50 kN в 1,5 mP₂ = 15 kN в 3 m

R_B = kN

4.Опорные реакции балокСложная

Консольная балка защемлена в стене в точке A. Она нагружена линейно изменяющейся нагрузкой интенсивностью 12 kN/m у стены, убывающей до нуля на свободном конце B, а также сосредоточенной силой P на расстоянии 6 m от стены. Найдите величину реактивного момента M_A в заделке.

L = 8 mw₀ = 12 kN/mP = 10 kN в 6 m

M_A = kN·m

5.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

B: 15 kN ↓F: 30 kN ↓G: 25 kN ↓

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент BG
13элемент DG

6.Ферма: метод вырезания узловСложная

Методом вырезания узлов найдите усилие F_AB в стержне AB. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 6 mвысота = 3 mB на расстоянии 4 m от Aвертикальная нагрузка = 60 kNгоризонтальная нагрузка = 5 kN ←

F_AB = kN

7.Рамы и механизмыСредняя

Рама на рисунке имеет шарниры в A, B и C; A и C закреплены на земле на расстоянии 5 m друг от друга, а B находится на высоте 4 m над землёй и на 2,25 m правее A. Вертикальная нагрузка 6 kN действует на элемент AB в точке K на расстоянии 0,5625 m (по горизонтали) от A. Найдите силу F_BC в элементе BC.

P = 6 kNL = 5 mH = 4 mгоризонтальное расстояние от A до B = 2,25 mгоризонтальное расстояние от A до K = 0,5625 m

F_BC = kN

8.Рамы и механизмыСложная

Однородная горизонтальная стрела AB весом 3 kN закреплена шарниром на стене в A и удерживается тросом от её конца B до точки C на стене на 1,5 m выше A. В точке B подвешена нагрузка 15 kN. Найдите натяжение T троса.

W = 15 kNW_b = 3 kNAB = 2,5 mAC = 1,5 m

T = kN

9.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена сосредоточенным моментом M₀ = 20 kN·m, действующим по часовой стрелке, в точке x = 4,5 m от A; других нагрузок нет. Найдите изгибающий момент M_x сразу слева от сосредоточенного момента. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 6 mM₀ = 20 kN·m по часовой стрелке, в точке 4,5 m

M_x = kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 1 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 6 mP = 25 kN в 2,5 mw = 8 kN/m от 0 до 6 mx = 1 m

M_x = kN·m

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Симметричный двутавр имеет полки шириной 220 mm и толщиной 24 mm, полную высоту 480 mm и стенку толщиной 6 mm. Найдите его момент сопротивления S_x при изгибе относительно горизонтальной центральной оси x.

B = 220 mmH = 480 mmt_f = 24 mmt_w = 6 mm

S_x = × 10³ mm³

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 15 kN·m. Найдите напряжение изгиба σ_низ на нижнем крае.

b_f = 240 mmt_f = 15 mmt_w = 10 mmh_w = 180 mmM = 15 kN·m

σ_низ = MPa

3Растворы

1.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: a·b = −31

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Перемножьте соответствующие компоненты и сложите

a·b = (−3)·3 + 1·2 + 4·(−6) = (−9) + 2 + (−24) = −31

Ответ

a·b = −31

Отрицательное: угол между векторами больше 90°.

2.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: |M| = 305,1 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Радиус-вектор из O в A

r = A − O = (−3, 2, 3) − (0, 0, 0) = (−3, 2, 3) m

Момент M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = 2·(−30) − 3·50 = −210 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = 3·(−40) − (−3)·(−30) = −210 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = (−3)·50 − 2·(−40) = −70 N·m

Модуль

|M| = √((−210)² + (−210)² + (−70)²) = 305,1 N·m

Ответ

|M| = 305,1 N·m

3.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = 24 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 50·1,5 + 15·3

R_B = 120/5 = 24 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 24 = 41 kN

Ответ

R_B = 24 kN

4.Опорные реакции балок

Ответ: M_A = 188 kN·m

Равновесие консоли: заделка может давить вверх и препятствовать повороту, поэтому она даёт вертикальную реакцию R_A и реактивный момент M_A. ΣF_y = 0 даёт R_A, а моменты относительно стены дают M_A = Σ(нагрузка × расстояние от стены). Распределённая нагрузка действует как её равнодействующая, приложенная в центре тяжести эпюры нагрузки.

Равнодействующая треугольной нагрузки

W = ½·12·8 = 48 kN

x̄ = L/3 = 2,667 m

Момент относительно стены

M_A = W·x̄ + P·a = 48·2,667 + 10·6 = 188 kN·m

Ответ

M_A = 188 kN·m

5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел C

BC и CD лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 46,25 kN (T), BC: 47,5 kN (T), CD: 47,5 kN (T), DE: 23,75 kN (T), FG: 46,25 kN (C), GH: 23,75 kN (C), AF: 65,41 kN (C), HE: 33,59 kN (C), BF: 16,25 kN (T), CG: 0, DH: 23,75 kN (T), BG: 1,768 kN (C), DG: 33,59 kN (C)

Ответ

Нулевой элемент: CG

6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AB = −37,5 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 60·4 − 5·3 → C_y = 37,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 37,5 = 22,5 kN

ΣF_x = 0: A_x = 5 kN

Узел A

Предположите, что каждый стержень растянут (тянет от узла). Только AB имеет вертикальную составляющую в узле A.

sin α = 3/5 = 0,6

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −22,5/0,6 = −37,5 kN

Ответ

F_AB = −37,5 kN (сжатие)

7.Рамы и механизмы

Ответ: F_BC = 0,8191 kN

Рамы и механизмы: в отличие от фермы, рама содержит хотя бы один элемент, который воспринимает силы более чем в двух точках или нагрузку между шарнирами. Сначала найдите двухсиловые элементы: у элемента, нагруженного только в двух шарнирах, сила направлена вдоль прямой через них, поэтому он добавляет одну неизвестную, а не две. Затем используйте всю конструкцию для опорных реакций, если неизвестных не больше трёх. Наконец, разберите раму: нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах на двух соединяемых ими элементах, и запишите для него ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0. Моменты относительно шарнира исключают из уравнения обе составляющие силы в этом шарнире.

Двухсиловой элемент BC

BC = √(2,75² + 4²) = 4,854 m

Вся рама: моменты относительно A

Земля действует на BC в точке C вдоль CB; её горизонтальная составляющая проходит через A, момент создаёт только вертикальная.

F_BC·(4/4,854)·5 = 6·0,5625

F_BC = 0,8191 kN (сжатие)

Ответ

F_BC = 0,8191 kN

8.Рамы и механизмы

Ответ: T = 32,07 kN

Угол троса

BC = √(2,5² + 1,5²) = 2,915 m, sin β = 0,5145

Моменты относительно A

T·0,5145·2,5 = 15·2,5 + 3·1,25

T = 32,07 kN

Ответ

T = 32,07 kN

9.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = −15 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Приложенный сосредоточенный момент вызывает на эпюре изгибающих моментов скачок, равный его величине.

Опорные реакции

Моменты относительно A, против часовой стрелки положительны: R_B·L − M₀ = 0. Равновесие по вертикали: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 20/6 = 3,333 kN (вверх)

R_A = −R_B = −3,333 kN (вниз)

Сечение сразу слева от сосредоточенного момента

Левая часть содержит только R_A.

M_x = R_A·a = −3,333·4,5 = −15 kN·m

Ответ

M_x = −15 kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 34,58 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN, приложена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 25·2,5 + 8·6·3

R_B = 206,5/6 = 34,42 kN

ΣF_y = 0: R_A = 73 − 34,42 = 38,58 kN

Рассеките в x = 1 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 38,58·1 − 8·1·0,5 = 34,58 kN·m

Ответ

M_x = 34,58 kN·m

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: S_x = 2457 × 10³ mm³

Момент инерции сечения: для прямоугольника относительно его собственной центральной оси I = bh³/12, а относительно основания bh³/3 (теорема о параллельном переносе осей I = I_c + A·d²). Отверстие учитывают, вычитая его I, если обе части отнесены к одной и той же оси. Момент сопротивления сечения S = I/c, где c — расстояние до крайнего волокна.

Наружный прямоугольник минус два боковых выреза

Оба выреза вместе имеют ширину (B − t_w) и высоту h_w = H − 2t_f и отнесены к оси x.

h_w = 480 − 2·24 = 432 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (220·480³ − 214·432³)/12

I_x = 5,898 × 10⁸ mm⁴

Момент сопротивления сечения

c = H/2 = 240 mm

S_x = I/c = 5,898 × 10⁸/240

S_x = 2,457 × 10⁶ mm³ = 2457 × 10³ mm³

Ответ

S_x = 2457 × 10³ mm³

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_низ = 142,3 MPa

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 240·15 = 3600 mm², y_f = 180 + 15/2 = 187,5 mm

стенка: A_w = 10·180 = 1800 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3600·187,5 + 1800·90)/5400 = 155 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 240·15³/12 + 3600·(187,5 − 155)² = 3,87 × 10⁶ mm⁴

стенка: 10·180³/12 + 1800·(90 − 155)² = 1,246 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,87 × 10⁶ + 1,246 × 10⁷ = 1,633 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

Нижний край на расстоянии ȳ от оси.

y = 155 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·155/1,633 × 10⁷ = 142,3 MPa

Ответ

σ_низ = 142,3 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics