Статика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Векторы: скалярное и векторное произведения

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Единичный вектор: û = a/|a|
Компоненты по углу: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярное произведение: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярная проекция a на b: a·b/|b|
Работа: W = F·d
Векторное произведение: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площади: параллелограмм |a × b|, треугольник ½|a × b|
Момент относительно O: M_O = r × F, r = A − O
Объём параллелепипеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Записывайте каждый вектор в компонентах; для силы, заданной модулем и углом, используйте F·cos θ и F·sin θ.
Для длин и направлений используйте модуль √(x² + y² + z²) и единичный вектор a/|a|.
Скалярное произведение применяйте для углов, проекций, перпендикулярности и работы: a·b = |a||b|cos θ.
Векторное произведение применяйте для перпендикулярных векторов, площадей и моментов: аккуратно записывайте три компоненты, сохраняя порядок a × b.

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Рамы и механизмы

Равновесие каждого элемента: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двухсиловой элемент: сила направлена вдоль прямой, проходящей через два его шарнира
Сила в шарнире: равны по модулю и противоположны по направлению на двух соединяемых ими элементах
Модуль силы в шарнире: F = √(F_x² + F_y²)
Рычаг, плоскогубцы, угловой рычаг: F_in·a = F_out·b
Коленно-рычажный механизм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки

Метод

Нарисуйте всю конструкцию и найдите опорные реакции, если неизвестных не больше трёх.
Найдите двухсиловые элементы: они нагружены только в двух шарнирах, поэтому их сила направлена вдоль прямой между шарнирами.
Разберите раму на части и нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах в местах соединения элементов.
Для каждого элемента возьмите моменты относительно шарнира с неизвестными силами, затем используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0; составляющие объедините в модуль в конце.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Тренировочные задачи

1.Векторы: скалярное и векторное произведенияСредняя

Найдите угол θ между векторами a = (5, 3, −4) и b = (3, −2, −5) в градусах.

a = (5, 3, −4)b = (3, −2, −5)

θ = °

2.Векторы: скалярное и векторное произведенияСложная

Найдите объём V параллелепипеда, рёбра которого из одной вершины равны a = (3, 2, 1), b = (2, 0, 4) и c = (−3, −1, −4).

a = (3, 2, 1)b = (2, 0, 4)c = (−3, −1, −4)

V =

3.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_B.

L = 5 mP₁ = 20 kN в 1,5 mP₂ = 40 kN в 3,5 m

R_B = kN

4.Опорные реакции балокСложная

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. На расстоянии 1,5 m от A действует сила P, наклонённая под углом 45° к горизонтали, а на расстоянии 4,5 m от A — вертикальная сила Q. Найдите величину полной силы реакции R_A в шарнире A.

L = 6 mP = 15 kN в 1,5 m, θ = 45°Q = 35 kN в 4,5 m

R_A = kN

5.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

B: 10 kN ↓D: 40 kN ↓F: 40 kN ↓

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент FC
13элемент HC

6.Ферма: метод вырезания узловСложная

B: 15 kN ↓D: 20 kN ↓F: 10 kN →H: 15 kN ↓

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент BG
13элемент DG

7.Рамы и механизмыСредняя

A-образная рама на рисунке стоит на шарнире в A и катке в B на расстоянии 4,8 m друг от друга, её верхний шарнир C находится на высоте 2 m, а горизонтальная затяжка DE — на 0,6 m над землёй. Вертикальная нагрузка 4 kN действует на ножку AC в точке K на расстоянии 1,8 m (по горизонтали) от A. Найдите натяжение T в затяжке.

P = 4 kNAB = 4,8 mвысота C = 2 mвысота DE = 0,6 mгоризонтальное расстояние от A до K = 1,8 m

T = kN

8.Рамы и механизмыСложная

Коленно-рычажный пресс имеет два равных звена AB и BC длиной 150 mm между шарнирами каждое. Шарнир B находится на 12 mm выше прямой AC. Какая направленная вниз сила F в точке B создаёт горизонтальную силу прессования 4000 N на ползуне C? Трением и весом пренебрегите.

Q = 4000 NAB = BC = 150 mmh = 12 mm

F = N

9.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 2,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 10 mw = 4 kN/m от 0 до 10 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

20 kN @ 0 m30 kN @ 12 m30 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Найдите момент инерции I_x таврового сечения относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b_f = 260 mmt_f = 20 mmt_w = 8 mmh_w = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 15 kN·m. Найдите напряжение изгиба σ_низ на нижнем крае.

b_f = 260 mmt_f = 10 mmt_w = 10 mmh_w = 300 mmM = 15 kN·m

σ_низ = MPa

3Растворы

1.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: θ = 48,29 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Скалярное произведение

a·b = 5·3 + 3·(−2) + (−4)·(−5) = 29

Модули

|a| = √(5² + 3² + (−4)²) = 7,071

|b| = √(3² + (−2)² + (−5)²) = 6,164

Угол

cos θ = 29/(7,071·6,164) = 0,6653

θ = arccos(0,6653) = 48,29°

Ответ

θ = 48,29°

2.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: V = 2

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Векторное произведение b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = 0·(−4) − 4·(−1) = 4

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = 4·(−3) − 2·(−4) = −4

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = 2·(−1) − 0·(−3) = −2

Скалярное произведение с a

a·(b × c) = 3·4 + 2·(−4) + 1·(−2) = 2

V = |2| = 2

Ответ

V = 2

3.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = 34 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 20·1,5 + 40·3,5

R_B = 170/5 = 34 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 34 = 26 kN

Ответ

R_B = 34 kN

4.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 19,79 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.

Составляющие P

P_v = 15·sin 45° = 10,61 kN

P_h = 15·cos 45° = 10,61 kN

Реакции

ΣM_A = 0: R_B·6 = 10,61·1,5 + 35·4,5 → R_B = 28,9 kN

A_y = 10,61 + 35 − 28,9 = 16,7 kN

A_x = P_h = 10,61 kN

Равнодействующая реакция в A

R_A = √(10,61² + 16,7²) = 19,79 kN

Ответ

R_A = 19,79 kN

5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел G

FG и GH лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 63,33 kN (T), BC: 63,33 kN (T), CD: 56,67 kN (T), DE: 56,67 kN (T), FG: 60 kN (C), GH: 60 kN (C), AF: 79,17 kN (C), HE: 70,83 kN (C), BF: 10 kN (T), CG: 0, DH: 40 kN (T), FC: 4,167 kN (C), HC: 4,167 kN (T)

Ответ

Нулевой элемент: CG

6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Узел C

BC и CD лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 27,5 kN (T), BC: 30 kN (T), CD: 30 kN (T), DE: 32,5 kN (T), FG: 27,5 kN (C), GH: 32,5 kN (C), AF: 24,75 kN (C), HE: 45,96 kN (C), BF: 17,5 kN (T), CG: 0, DH: 17,5 kN (T), BG: 3,536 kN (C), DG: 3,536 kN (T)

Ответ

Нулевой элемент: CG

7.Рамы и механизмы

Ответ: T = 2,571 kN

Рамы и механизмы: в отличие от фермы, рама содержит хотя бы один элемент, который воспринимает силы более чем в двух точках или нагрузку между шарнирами. Сначала найдите двухсиловые элементы: у элемента, нагруженного только в двух шарнирах, сила направлена вдоль прямой через них, поэтому он добавляет одну неизвестную, а не две. Затем используйте всю конструкцию для опорных реакций, если неизвестных не больше трёх. Наконец, разберите раму: нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах на двух соединяемых ими элементах, и запишите для него ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0. Моменты относительно шарнира исключают из уравнения обе составляющие силы в этом шарнире.

Вся рама: моменты относительно A

B_y = 4·1,8/4,8 = 1,5 kN

Ножка BC: моменты относительно C

1,5·2,4 = T·1,4

T = 2,571 kN

Ответ

T = 2,571 kN

8.Рамы и механизмы

Ответ: F = 642,1 N

Механизмы: плоскогубцы, рычаги, шарнирные системы и зажимы преобразуют входную силу в большую или иначе направленную выходную. Нарисуйте одну часть как свободное тело и возьмите моменты относительно её оси: сила в шарнире выпадает, а F_in·a = F_out·b даёт выигрыш в силе a/b. Сила в шарнире затем следует из ΣF = 0 для той же части. В коленно-рычажном механизме два звена сходятся под малым углом θ; каждое звено — двухсиловой элемент, поэтому малая сила F в узле создаёт большие силы в звеньях F/(2 sin θ) и зажимную силу F/(2 tan θ).

Угол звена

sin θ = 12/150 = 0,08, θ = 4,589°

Сила в звене

F_link = Q/cos θ = 4013 N

Сила в B

F = 2·F_link·sin θ = 2·4000·tan θ = 642,1 N

Ответ

F = 642,1 N

9.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 37,5 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 4·10 = 40 kN, приложена в x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 4·10·5

R_B = 200/10 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 20 = 20 kN

Рассеките в x = 2,5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 20·2,5 − 4·2,5·1,25 = 37,5 kN·m

Ответ

M_x = 37,5 kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: F (x = 10 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 40 kN, R₂ = 40 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = −40, M_C = 0, M_D = −20, M_E = −40, M_F = −60 kN·m, M_G = 0

Ответ

Отметка F: M_F = −60 kN·m

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 7,9 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 260·20 = 5200 mm², y_f = 140 + 20/2 = 150 mm

стенка: A_w = 8·140 = 1120 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5200·150 + 1120·70)/6320 = 135,8 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 260·20³/12 + 5200·(150 − 135,8)² = 1,218 × 10⁶ mm⁴

стенка: 8·140³/12 + 1120·(70 − 135,8)² = 6,682 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,218 × 10⁶ + 6,682 × 10⁶ = 7,9 × 10⁶ mm⁴ = 7,9 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 7,9 × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_низ = 59,47 MPa

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 260·10 = 2600 mm², y_f = 300 + 10/2 = 305 mm

стенка: A_w = 10·300 = 3000 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2600·305 + 3000·150)/5600 = 222 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 260·10³/12 + 2600·(305 − 222)² = 1,795 × 10⁷ mm⁴

стенка: 10·300³/12 + 3000·(150 − 222)² = 3,804 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,795 × 10⁷ + 3,804 × 10⁷ = 5,599 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

Нижний край на расстоянии ȳ от оси.

y = 222 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·222/5,599 × 10⁷ = 59,47 MPa

Ответ

σ_низ = 59,47 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics