Статика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Векторы: скалярное и векторное произведения

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Единичный вектор: û = a/|a|
Компоненты по углу: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярное произведение: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярная проекция a на b: a·b/|b|
Работа: W = F·d
Векторное произведение: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площади: параллелограмм |a × b|, треугольник ½|a × b|
Момент относительно O: M_O = r × F, r = A − O
Объём параллелепипеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Записывайте каждый вектор в компонентах; для силы, заданной модулем и углом, используйте F·cos θ и F·sin θ.
Для длин и направлений используйте модуль √(x² + y² + z²) и единичный вектор a/|a|.
Скалярное произведение применяйте для углов, проекций, перпендикулярности и работы: a·b = |a||b|cos θ.
Векторное произведение применяйте для перпендикулярных векторов, площадей и моментов: аккуратно записывайте три компоненты, сохраняя порядок a × b.

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Рамы и механизмы

Равновесие каждого элемента: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двухсиловой элемент: сила направлена вдоль прямой, проходящей через два его шарнира
Сила в шарнире: равны по модулю и противоположны по направлению на двух соединяемых ими элементах
Модуль силы в шарнире: F = √(F_x² + F_y²)
Рычаг, плоскогубцы, угловой рычаг: F_in·a = F_out·b
Коленно-рычажный механизм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки

Метод

Нарисуйте всю конструкцию и найдите опорные реакции, если неизвестных не больше трёх.
Найдите двухсиловые элементы: они нагружены только в двух шарнирах, поэтому их сила направлена вдоль прямой между шарнирами.
Разберите раму на части и нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах в местах соединения элементов.
Для каждого элемента возьмите моменты относительно шарнира с неизвестными силами, затем используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0; составляющие объедините в модуль в конце.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Тренировочные задачи

1.Векторы: скалярное и векторное произведенияСредняя

Постоянная сила F = (−5, −10, 5) N действует на тело, которое движется по прямой из точки A(−5, −3, −5) в точку B(−2, 4, −5). Координаты даны в метрах. Найдите работу W этой силы.

F = (−5, −10, 5) NA(−5, −3, −5) mB(−2, 4, −5) m

W = J

2.Векторы: скалярное и векторное произведенияСложная

Для a = (1, −5, 1) и b = (6, −3, 2) найдите x-компоненту (a × b)_x векторного произведения a × b.

a = (1, −5, 1)b = (6, −3, 2)

(a × b)_x =

3.Опорные реакции балокСредняя

Балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную опору в B на расстоянии 4 m от A и консольный свес за B до свободного конца C. Найдите вертикальную реакцию R_B, считая положительным направление вверх.

AB = 4 mAC = 5 mP₁ = 35 kN в 1 mP₂ = 10 kN в 5 m

R_B = kN

4.Опорные реакции балокСложная

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_A.

L = 5 mP = 35 kN в 2 mw = 12 kN/m от 1 до 3 m

R_A = kN

5.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

D: 40 kN ↓F: 10 kN ↓G: 40 kN ↓H: 35 kN ↓

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент FC
13элемент HC

6.Ферма: метод вырезания узловСложная

Методом вырезания узлов найдите усилие F_AB в стержне AB. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 8 mвысота = 4 mB на расстоянии 5 m от Aвертикальная нагрузка = 10 kNгоризонтальная нагрузка = 5 kN →

F_AB = kN

7.Рамы и механизмыСредняя

A-образная рама на рисунке стоит на шарнире в A и катке в B на расстоянии 3,2 m друг от друга. Ножки сходятся в шарнире C на высоте 3 m, а горизонтальная затяжка DE находится на 1,2 m над землёй. В точке C действует нагрузка 2 kN. Найдите модуль силы C, с которой шарнир C действует на ножку BC.

P = 2 kNAB = 3,2 mвысота C = 3 mвысота DE = 1,2 m

C = kN

8.Рамы и механизмыСложная

Рама на рисунке имеет шарниры в A, B и C; A и C закреплены на земле на расстоянии 8 m друг от друга, а B находится на высоте 3 m и на 3,6 m правее A. Элемент AB несёт вертикальную нагрузку 8 kN в точке K на расстоянии 1,44 m (по горизонтали) от A и горизонтальную нагрузку 2 kN, направленную вправо, в точке B. Найдите величину горизонтальной реакции A_x в A.

P = 8 kNQ = 2 kNL = 8 mH = 3 mгоризонтальное расстояние от A до B = 3,6 mгоризонтальное расстояние от A до K = 1,44 m

A_x = kN

9.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена двумя сосредоточенными силами. Найдите наибольший изгибающий момент M_max в балке.

L = 8 mP₁ = 55 kN в 2 mP₂ = 65 kN в 5 m

M_max = kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту и сосредоточенной силой P. Найдите наибольший изгибающий момент M_max в балке.

L = 5 mP = 40 kN в 2,5 mw = 10 kN/m от 0 до 5 m

M_max = kN·m

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Швеллер расположен открытой стороной вверх: стенка-основание шириной 160 mm с двумя вертикальными полками полной высотой 100 mm. Толщина основания и полок 20 mm. Найдите высоту ȳ центра тяжести над нижней кромкой.

b = 160 mmh = 100 mmt = 20 mm

ȳ = mm

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 50 kN·m. Найдите величину напряжения изгиба σ_верх на верхнем крае.

b_f = 160 mmt_f = 20 mmt_w = 20 mmh_w = 260 mmM = 50 kN·m

σ_верх = MPa

3Растворы

1.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: W = −85 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Перемещение

d = B − A = (−2, 4, −5) − (−5, −3, −5) = (3, 7, 0) m

Работа

W = F·d = (−5)·3 + (−10)·7 + 5·0 = −85 J

Ответ

W = −85 J

Отрицательная работа: сила действует в основном против движения.

2.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: (a × b)_x = −7

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Векторное произведение по компонентам

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−5)·2 − 1·(−3) = −7

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 1·6 − 1·2 = 4

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 1·(−3) − (−5)·6 = 27

Искомая компонента

(a × b)_x = −7

Ответ

(a × b)_x = −7

Проверка: a × b перпендикулярно обоим векторам, поэтому его скалярные произведения с a и с b равны нулю.

3.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = 21,25 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.

Моменты относительно A

Против часовой стрелки — положительно.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 35·1 + 10·5

R_B = 85/4 = 21,25 kN

Равновесие по вертикали

R_A = 35 + 10 − 21,25 = 23,75 kN

Ответ

R_B = 21,25 kN

4.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 35,4 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 12·2 = 24 kN, приложена в x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 35·2 + 12·2·2

R_B = 118/5 = 23,6 kN

ΣF_y = 0: R_A = 59 − 23,6 = 35,4 kN

Ответ

R_A = 35,4 kN

5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент BF

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел B

AB и BC лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только BF.

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 46,25 kN (T), BC: 46,25 kN (T), CD: 78,75 kN (T), DE: 78,75 kN (T), FG: 82,5 kN (C), GH: 82,5 kN (C), AF: 65,41 kN (C), HE: 111,4 kN (C), BF: 0, CG: 40 kN (C), DH: 40 kN (T), FC: 51,27 kN (T), HC: 5,303 kN (T)

Ответ

Нулевой элемент: BF

6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AB = −2,001 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 10·5 + 5·4 → C_y = 8,75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − 8,75 = 1,25 kN

ΣF_x = 0: A_x = −5 kN

Узел A

Предположите, что каждый стержень растянут (тянет от узла). Только AB имеет вертикальную составляющую в узле A.

sin α = 4/6,403 = 0,6247

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −1,25/0,6247 = −2,001 kN

Ответ

F_AB = −2,001 kN (сжатие)

7.Рамы и механизмы

Ответ: C = 1,338 kN

Рамы и механизмы: в отличие от фермы, рама содержит хотя бы один элемент, который воспринимает силы более чем в двух точках или нагрузку между шарнирами. Сначала найдите двухсиловые элементы: у элемента, нагруженного только в двух шарнирах, сила направлена вдоль прямой через них, поэтому он добавляет одну неизвестную, а не две. Затем используйте всю конструкцию для опорных реакций, если неизвестных не больше трёх. Наконец, разберите раму: нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах на двух соединяемых ими элементах, и запишите для него ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0. Моменты относительно шарнира исключают из уравнения обе составляющие силы в этом шарнире.

Сила в затяжке из ножки BC

B_y = 1 kN

T = 1·1,6/1,8 = 0,8889 kN

Составляющие силы в шарнире на BC

C_x = T = 0,8889 kN, C_y = −B_y = −1 kN

Модуль

C = √(0,8889² + 1²) = 1,338 kN

Ответ

C = 1,338 kN

8.Рамы и механизмы

Ответ: A_x = 1,212 kN

Направление BC

BC = 5,325 m, cos = 0,8262, sin = 0,5633

Вся рама: моменты относительно A

F_BC·0,5633·8 = 8·1,44 + 2·3

F_BC = 3,888 kN

Горизонтальный баланс

A_x + 2 − 3,888·0,8262 = 0

A_x = 1,212 kN → |A_x| = 1,212 kN

Ответ

A_x = 1,212 kN

A_x направлена вправо.

9.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_max = 163,1 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 55·2 + 65·5

R_B = 435/8 = 54,38 kN

ΣF_y = 0: R_A = 120 − 54,38 = 65,63 kN

Момент под каждой силой

Оставляйте часть слева от каждой силы.

под P₁: M = R_A·2 = 65,63·2 = 131,3 kN·m

под P₂: M = R_B·3 = 54,38·3 = 163,1 kN·m

Наибольшее значение

M_max = 163,1 kN·m (под P₂)

Ответ

M_max = 163,1 kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_max = 81,25 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 10·5 = 50 kN, приложена в x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 40·2,5 + 10·5·2,5

R_B = 225/5 = 45 kN

ΣF_y = 0: R_A = 90 − 45 = 45 kN

Где V = 0?

V(2,5⁻) = R_A − w·2,5 = 20 kN

V(2,5⁺) = 20 − 40 = −20 kN

Поперечная сила меняет знак под силой, поэтому максимум находится под силой.

Наибольший момент

M_max = R_A·2,5 − w·2,5²/2 = 45·2,5 − 10·2,5²/2 = 81,25 kN·m

Ответ

M_max = 81,25 kN·m

Он достигается при x = 2,5 m от A.

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: ȳ = 35 mm

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбиваем на прямоугольники

Возьмите основание во всю ширину и две полки над ним (высотой h − t), чтобы ничего не учитывать дважды.

основа: A₁ = 160·20 = 3200 mm², y₁ = 10 mm

две полки: A₂ = 2·20·80 = 3200 mm², y₂ = 20 + 80/2 = 60 mm

Центр тяжести

ȳ = (3200·10 + 3200·60)/6400 = 35 mm

Ответ

ȳ = 35 mm

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_верх = 70,84 MPa

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 160·20 = 3200 mm², y_f = 260 + 20/2 = 270 mm

стенка: A_w = 20·260 = 5200 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3200·270 + 5200·130)/8400 = 183,3 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 160·20³/12 + 3200·(270 − 183,3)² = 2,414 × 10⁷ mm⁴

стенка: 20·260³/12 + 5200·(130 − 183,3)² = 4,408 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,414 × 10⁷ + 4,408 × 10⁷ = 6,823 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

Верхний край на расстоянии h − ȳ от оси.

y = 280 − 183,3 = 96,67 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·96,67/6,823 × 10⁷ = 70,84 MPa

Ответ

σ_верх = 70,84 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics