Статика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Векторы: скалярное и векторное произведения

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Единичный вектор: û = a/|a|
Компоненты по углу: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярное произведение: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярная проекция a на b: a·b/|b|
Работа: W = F·d
Векторное произведение: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площади: параллелограмм |a × b|, треугольник ½|a × b|
Момент относительно O: M_O = r × F, r = A − O
Объём параллелепипеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Записывайте каждый вектор в компонентах; для силы, заданной модулем и углом, используйте F·cos θ и F·sin θ.
Для длин и направлений используйте модуль √(x² + y² + z²) и единичный вектор a/|a|.
Скалярное произведение применяйте для углов, проекций, перпендикулярности и работы: a·b = |a||b|cos θ.
Векторное произведение применяйте для перпендикулярных векторов, площадей и моментов: аккуратно записывайте три компоненты, сохраняя порядок a × b.

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Рамы и механизмы

Равновесие каждого элемента: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двухсиловой элемент: сила направлена вдоль прямой, проходящей через два его шарнира
Сила в шарнире: равны по модулю и противоположны по направлению на двух соединяемых ими элементах
Модуль силы в шарнире: F = √(F_x² + F_y²)
Рычаг, плоскогубцы, угловой рычаг: F_in·a = F_out·b
Коленно-рычажный механизм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки

Метод

Нарисуйте всю конструкцию и найдите опорные реакции, если неизвестных не больше трёх.
Найдите двухсиловые элементы: они нагружены только в двух шарнирах, поэтому их сила направлена вдоль прямой между шарнирами.
Разберите раму на части и нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах в местах соединения элементов.
Для каждого элемента возьмите моменты относительно шарнира с неизвестными силами, затем используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0; составляющие объедините в модуль в конце.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Тренировочные задачи

1.Векторы: скалярное и векторное произведенияСредняя

Найдите скалярную проекцию comp_b a вектора a = (−3, −1, 3) на b = (1, −4, 5), то есть компоненту a в направлении b.

a = (−3, −1, 3)b = (1, −4, 5)

comp_b a =

2.Векторы: скалярное и векторное произведенияСложная

Найдите площадь A треугольника с вершинами A(3, 0, −3), B(−3, 1, 4) и C(−3, 1, 1). Координаты даны в метрах.

A(3, 0, −3)B(−3, 1, 4)C(−3, 1, 1)

A = m²

3.Опорные реакции балокСредняя

Балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную опору в B на расстоянии 7 m от A и консольный свес за B до свободного конца C. Найдите вертикальную реакцию R_B, считая положительным направление вверх.

AB = 7 mAC = 10 mP₁ = 20 kN в 1 mP₂ = 65 kN в 10 m

R_B = kN

4.Опорные реакции балокСложная

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_A.

L = 5 mP = 40 kN в 3 mw = 2 kN/m от 0 до 1 m

R_A = kN

5.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Методом вырезания узлов найдите усилие F_BC в стержне BC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 4 mвысота = 3 mB на расстоянии 3 m от Aвертикальная нагрузка = 60 kN

F_BC = kN

6.Ферма: метод вырезания узловСложная

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

C: 20 kN ↓D: 35 kN ↓F: 30 kN →G: 30 kN ↓H: 20 kN ↓

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент FC
13элемент HC

7.Рамы и механизмыСредняя

Рама на рисунке имеет шарниры в A, B и C; A и C закреплены на земле на расстоянии 6 m друг от друга, а B находится на высоте 2,5 m над землёй и на 3,6 m правее A. Вертикальная нагрузка 5 kN действует на элемент AB в точке K на расстоянии 1,8 m (по горизонтали) от A. Найдите силу F_BC в элементе BC.

P = 5 kNL = 6 mH = 2,5 mгоризонтальное расстояние от A до B = 3,6 mгоризонтальное расстояние от A до K = 1,8 m

F_BC = kN

8.Рамы и механизмыСложная

Однородная горизонтальная стрела AB весом 0,5 kN закреплена шарниром на стене в A и удерживается тросом от её конца B до точки C на стене на 2,5 m выше A. В точке B подвешена нагрузка 5 kN. Найдите натяжение T троса.

W = 5 kNW_b = 0,5 kNAB = 2,5 mAC = 2,5 m

T = kN

9.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

25 kN @ 3 m10 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

10.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 1 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 6 mP = 45 kN в 1 mw = 3 kN/m от 0 до 6 mx = 1 m

M_x = kN·m

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Швеллер расположен открытой стороной вверх: стенка-основание шириной 160 mm с двумя вертикальными полками полной высотой 190 mm. Толщина основания и полок 14 mm. Найдите его момент инерции I_x относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b = 160 mmh = 190 mmt = 14 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Сварной двутавр имеет верхнюю полку 200 × 22 mm, стенку высотой 220 mm и толщиной 16 mm и нижнюю полку 260 × 18 mm (ширина × толщина). Найдите его момент инерции I_x относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

верхняя полка: 200 × 22 mmстенка: 16 × 220 mmнижняя полка: 260 × 18 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Растворы

1.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: comp_b a = 2,469

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Скалярное произведение

a·b = (−3)·1 + (−1)·(−4) + 3·5 = 16

Длина b

|b| = √(1² + (−4)² + 5²) = 6,481

Скалярная проекция

comp_b a = a·b/|b| = 16/6,481 = 2,469

Ответ

comp_b a = 2,469

2.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: A = 9,124 m²

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Векторы сторон

AB = B − A = (−6, 1, 7)

AC = C − A = (−6, 1, 4)

Векторное произведение

(AB × AC)_x = AB_yAC_z − AB_zAC_y = 1·4 − 7·1 = −3

(AB × AC)_y = AB_zAC_x − AB_xAC_z = 7·(−6) − (−6)·4 = −18

(AB × AC)_z = AB_xAC_y − AB_yAC_x = (−6)·1 − 1·(−6) = 0

|AB × AC| = √((−3)² + (−18)² + 0²) = 18,25

Площадь треугольника

A = ½·18,25 = 9,124 m²

Ответ

A = 9,124 m²

3.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = 95,71 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.

Моменты относительно A

Против часовой стрелки — положительно.

ΣM_A = 0: R_B·7 = 20·1 + 65·10

R_B = 670/7 = 95,71 kN

Равновесие по вертикали

R_A = 20 + 65 − 95,71 = −10,71 kN

Ответ

R_B = 95,71 kN

R_A отрицательна: шарнир A должен удерживать балку от отрыва.

4.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 17,8 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 2·1 = 2 kN, приложена в x̄ = 0,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 40·3 + 2·1·0,5

R_B = 121/5 = 24,2 kN

ΣF_y = 0: R_A = 42 − 24,2 = 17,8 kN

Ответ

R_A = 17,8 kN

5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_BC = −47,43 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 60·3 → C_y = 45 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 45 = 15 kN

Узел C

Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.

sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −45/0,9487 = −47,43 kN

Ответ

F_BC = −47,43 kN (сжатие)

6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент BF

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел B

AB и BC лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только BF.

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 61,25 kN (T), BC: 61,25 kN (T), CD: 73,75 kN (T), DE: 73,75 kN (T), FG: 92,5 kN (C), GH: 92,5 kN (C), AF: 44,19 kN (C), HE: 104,3 kN (C), BF: 0, CG: 30 kN (C), DH: 35 kN (T), FC: 44,19 kN (T), HC: 26,52 kN (T)

Ответ

Нулевой элемент: BF

7.Рамы и механизмы

Ответ: F_BC = 2,079 kN

Рамы и механизмы: в отличие от фермы, рама содержит хотя бы один элемент, который воспринимает силы более чем в двух точках или нагрузку между шарнирами. Сначала найдите двухсиловые элементы: у элемента, нагруженного только в двух шарнирах, сила направлена вдоль прямой через них, поэтому он добавляет одну неизвестную, а не две. Затем используйте всю конструкцию для опорных реакций, если неизвестных не больше трёх. Наконец, разберите раму: нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах на двух соединяемых ими элементах, и запишите для него ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0. Моменты относительно шарнира исключают из уравнения обе составляющие силы в этом шарнире.

Двухсиловой элемент BC

BC = √(2,4² + 2,5²) = 3,466 m

Вся рама: моменты относительно A

Земля действует на BC в точке C вдоль CB; её горизонтальная составляющая проходит через A, момент создаёт только вертикальная.

F_BC·(2,5/3,466)·6 = 5·1,8

F_BC = 2,079 kN (сжатие)

Ответ

F_BC = 2,079 kN

8.Рамы и механизмы

Ответ: T = 7,425 kN

Угол троса

BC = √(2,5² + 2,5²) = 3,536 m, sin β = 0,7071

Моменты относительно A

T·0,7071·2,5 = 5·2,5 + 0,5·1,25

T = 7,425 kN

Ответ

T = 7,425 kN

9.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: D (x = 3 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 42,5 kN, R₂ = 42,5 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = 37,5, M_C = 65, M_D = 82,5 kN·m, M_E = 65, M_F = 37,5, M_G = 0

Ответ

Отметка D: M_D = 82,5 kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 45 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 3·6 = 18 kN, приложена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 45·1 + 3·6·3

R_B = 99/6 = 16,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 63 − 16,5 = 46,5 kN

Рассеките в x = 1 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 46,5·1 − 3·1·0,5 = 45 kN·m

Ответ

M_x = 45 kN·m

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 26,66 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбиваем на прямоугольники

Возьмите основание во всю ширину и две полки над ним (высотой h − t), чтобы ничего не учитывать дважды.

основа: A₁ = 160·14 = 2240 mm², y₁ = 7 mm

две полки: A₂ = 2·14·176 = 4928 mm², y₂ = 14 + 176/2 = 102 mm

Центр тяжести

ȳ = (2240·7 + 4928·102)/7168 = 72,31 mm

Теорема о параллельном переносе осей

основа: 160·14³/12 + 2240·(7 − 72,31)² = 9,592 × 10⁶ mm⁴

две полки: 2·14·176³/12 + 4928·(102 − 72,31)² = 1,706 × 10⁷ mm⁴

I_x = 9,592 × 10⁶ + 1,706 × 10⁷

I_x = 2,666 × 10⁷ mm⁴ = 26,66 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 26,66 × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 145,1 × 10⁶ mm⁴

Разбиваем на три прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

верхняя полка: A = 4400 mm², y = 249 mm

стенка: A = 3520 mm², y = 128 mm

нижняя полка: A = 4680 mm², y = 9 mm

Центр тяжести

ȳ = (4400·249 + 3520·128 + 4680·9)/12600 = 126,1 mm

Теорема о параллельном переносе осей

верхняя полка: 200·22³/12 + 4400·122,9² = 6,669 × 10⁷ mm⁴

стенка: 16·220³/12 + 3520·1,946² = 1,421 × 10⁷ mm⁴

нижняя полка: 260·18³/12 + 4680·117,1² = 6,425 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,669 × 10⁷ + 1,421 × 10⁷ + 6,425 × 10⁷

I_x = 1,451 × 10⁸ mm⁴ = 145,1 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 145,1 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics