Статика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Векторы: скалярное и векторное произведения

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Единичный вектор: û = a/|a|
Компоненты по углу: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярное произведение: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярная проекция a на b: a·b/|b|
Работа: W = F·d
Векторное произведение: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площади: параллелограмм |a × b|, треугольник ½|a × b|
Момент относительно O: M_O = r × F, r = A − O
Объём параллелепипеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Записывайте каждый вектор в компонентах; для силы, заданной модулем и углом, используйте F·cos θ и F·sin θ.
Для длин и направлений используйте модуль √(x² + y² + z²) и единичный вектор a/|a|.
Скалярное произведение применяйте для углов, проекций, перпендикулярности и работы: a·b = |a||b|cos θ.
Векторное произведение применяйте для перпендикулярных векторов, площадей и моментов: аккуратно записывайте три компоненты, сохраняя порядок a × b.

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Рамы и механизмы

Равновесие каждого элемента: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двухсиловой элемент: сила направлена вдоль прямой, проходящей через два его шарнира
Сила в шарнире: равны по модулю и противоположны по направлению на двух соединяемых ими элементах
Модуль силы в шарнире: F = √(F_x² + F_y²)
Рычаг, плоскогубцы, угловой рычаг: F_in·a = F_out·b
Коленно-рычажный механизм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки

Метод

Нарисуйте всю конструкцию и найдите опорные реакции, если неизвестных не больше трёх.
Найдите двухсиловые элементы: они нагружены только в двух шарнирах, поэтому их сила направлена вдоль прямой между шарнирами.
Разберите раму на части и нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах в местах соединения элементов.
Для каждого элемента возьмите моменты относительно шарнира с неизвестными силами, затем используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0; составляющие объедините в модуль в конце.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Тренировочные задачи

1.Векторы: скалярное и векторное произведенияСредняя

Постоянная сила F = (0, 25, −5) N действует на тело, которое движется по прямой из точки A(−3, 4, −3) в точку B(5, −2, 5). Координаты даны в метрах. Найдите работу W этой силы.

F = (0, 25, −5) NA(−3, 4, −3) mB(5, −2, 5) m

W = J

2.Векторы: скалярное и векторное произведенияСложная

Найдите объём V параллелепипеда, рёбра которого из одной вершины равны a = (−5, 4, −1), b = (2, 4, 5) и c = (−1, −3, −1).

a = (−5, 4, −1)b = (2, 4, 5)c = (−1, −3, −1)

V =

3.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_A.

L = 6 mP₁ = 20 kN в 1 mP₂ = 50 kN в 4,5 m

R_A = kN

4.Опорные реакции балокСложная

L = 6 mP = 25 kN в 3,5 mw = 8 kN/m от 1 до 6 m

R_A = kN

5.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

D: 40 kN ↓H: 20 kN ↓

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент BG
13элемент DG

6.Ферма: метод вырезания узловСложная

C: 20 kN ↓D: 40 kN ↓F: 15 kN →G: 15 kN ↓H: 15 kN ↓

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент FC
13элемент HC

7.Рамы и механизмыСредняя

A-образная рама на рисунке стоит на шарнире в A и катке в B на расстоянии 4 m друг от друга. Ножки сходятся в шарнире C на высоте 2 m, а горизонтальная затяжка DE находится на 1 m над землёй. В точке C действует нагрузка 8 kN. Найдите модуль силы C, с которой шарнир C действует на ножку BC.

P = 8 kNAB = 4 mвысота C = 2 mвысота DE = 1 m

C = kN

8.Рамы и механизмыСложная

Рама на рисунке имеет шарниры в A, B и C; A и C закреплены на земле на расстоянии 6 m друг от друга, а B находится на высоте 2,5 m и на 2,7 m правее A. Элемент AB несёт вертикальную нагрузку 12 kN в точке K на расстоянии 1,35 m (по горизонтали) от A и горизонтальную нагрузку 4 kN, направленную вправо, в точке B. Найдите величину горизонтальной реакции A_x в A.

P = 12 kNQ = 4 kNL = 6 mH = 2,5 mгоризонтальное расстояние от A до B = 2,7 mгоризонтальное расстояние от A до K = 1,35 m

A_x = kN

9.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

40 kN @ 6 m45 kN @ 10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

10.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Балка опирается на неподвижный шарнир в A и подвижную опору в B и имеет консольный свес длиной 1 m за B до свободного конца C. Равномерно распределённая нагрузка w действует по всей длине A–C. Найдите расстояние x_c от A до точки перегиба между опорами (где изгибающий момент меняет знак).

L = 5 mw = 5 kN/m от 0 до 5 mопоры при x = 0 и x = 4 m

x_c = m

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Симметричный двутавр имеет полки шириной 160 mm и толщиной 24 mm, полную высоту 200 mm и стенку толщиной 10 mm. Найдите его момент инерции I_x относительно горизонтальной центральной оси x.

B = 160 mmH = 200 mmt_f = 24 mmt_w = 10 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 20 kN·m. Найдите величину напряжения изгиба σ_верх на верхнем крае.

b_f = 120 mmt_f = 25 mmt_w = 16 mmh_w = 300 mmM = 20 kN·m

σ_верх = MPa

3Растворы

1.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: W = −190 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Перемещение

d = B − A = (5, −2, 5) − (−3, 4, −3) = (8, −6, 8) m

Работа

W = F·d = 0·8 + 25·(−6) + (−5)·8 = −190 J

Ответ

W = −190 J

Отрицательная работа: сила действует в основном против движения.

2.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: V = 65

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Векторное произведение b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = 4·(−1) − 5·(−3) = 11

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = 5·(−1) − 2·(−1) = −3

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = 2·(−3) − 4·(−1) = −2

Скалярное произведение с a

a·(b × c) = (−5)·11 + 4·(−3) + (−1)·(−2) = −65

V = |−65| = 65

Ответ

V = 65

3.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 29,17 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 20·1 + 50·4,5

R_B = 245/6 = 40,83 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 40,83 = 29,17 kN

Ответ

R_A = 29,17 kN

4.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 27,08 kN

Расчётная схема

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 8·5 = 40 kN, приложена в x̄ = 3,5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 25·3,5 + 8·5·3,5

R_B = 227,5/6 = 37,92 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 37,92 = 27,08 kN

Ответ

R_A = 27,08 kN

5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел C

BC и CD лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 15 kN (T), BC: 30 kN (T), CD: 30 kN (T), DE: 45 kN (T), FG: 15 kN (C), GH: 45 kN (C), AF: 21,21 kN (C), HE: 63,64 kN (C), BF: 15 kN (T), CG: 0, DH: 25 kN (T), BG: 21,21 kN (C), DG: 21,21 kN (T)

Ответ

Нулевой элемент: CG

6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент BF

Узел B

AB и BC лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только BF.

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 34,69 kN (T), BC: 34,69 kN (T), CD: 47,81 kN (T), DE: 47,81 kN (T), FG: 54,38 kN (C), GH: 54,38 kN (C), AF: 32,81 kN (C), HE: 79,69 kN (C), BF: 0, CG: 15 kN (C), DH: 40 kN (T), FC: 32,81 kN (T), HC: 10,94 kN (T)

Ответ

Нулевой элемент: BF

7.Рамы и механизмы

Ответ: C = 8,944 kN

Рамы и механизмы: в отличие от фермы, рама содержит хотя бы один элемент, который воспринимает силы более чем в двух точках или нагрузку между шарнирами. Сначала найдите двухсиловые элементы: у элемента, нагруженного только в двух шарнирах, сила направлена вдоль прямой через них, поэтому он добавляет одну неизвестную, а не две. Затем используйте всю конструкцию для опорных реакций, если неизвестных не больше трёх. Наконец, разберите раму: нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах на двух соединяемых ими элементах, и запишите для него ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0. Моменты относительно шарнира исключают из уравнения обе составляющие силы в этом шарнире.

Сила в затяжке из ножки BC

B_y = 4 kN

T = 4·2/1 = 8 kN

Составляющие силы в шарнире на BC

C_x = T = 8 kN, C_y = −B_y = −4 kN

Модуль

C = √(8² + 4²) = 8,944 kN

Ответ

C = 8,944 kN

8.Рамы и механизмы

Ответ: A_x = 1,764 kN

Направление BC

BC = 4,14 m, cos = 0,7971, sin = 0,6039

Вся рама: моменты относительно A

F_BC·0,6039·6 = 12·1,35 + 4·2,5

F_BC = 7,231 kN

Горизонтальный баланс

A_x + 4 − 7,231·0,7971 = 0

A_x = 1,764 kN → |A_x| = 1,764 kN

Ответ

A_x = 1,764 kN

A_x направлена вправо.

9.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: D (x = 6 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 27,5 kN, R₂ = 57,5 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = 55, M_C = 110, M_D = 165 kN·m, M_E = 140, M_F = 115, M_G = 0

Ответ

Отметка D: M_D = 165 kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: x_c = 3,75 m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки с учётом нагрузки на консольном свесе.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN, приложена в x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 5·5·2,5

R_B = 62,5/4 = 15,63 kN

ΣF_y = 0: R_A = 25 − 15,63 = 9,375 kN

Нулевой момент

Между опорами M(x) = R_A·x − w·x²/2. Кроме x = 0, он равен нулю при x = 2R_A/w.

R_A·x_c − w·x_c²/2 = 0

x_c = 2·9,375/5 = 3,75 m

Ответ

x_c = 3,75 m

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 62,77 × 10⁶ mm⁴

Момент инерции сечения: для прямоугольника относительно его собственной центральной оси I = bh³/12, а относительно основания bh³/3 (теорема о параллельном переносе осей I = I_c + A·d²). Отверстие учитывают, вычитая его I, если обе части отнесены к одной и той же оси. Момент сопротивления сечения S = I/c, где c — расстояние до крайнего волокна.

Наружный прямоугольник минус два боковых выреза

Оба выреза вместе имеют ширину (B − t_w) и высоту h_w = H − 2t_f и отнесены к оси x.

h_w = 200 − 2·24 = 152 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (160·200³ − 150·152³)/12

I_x = 6,277 × 10⁷ mm⁴ = 62,77 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 62,77 × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_верх = 26,5 MPa

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 120·25 = 3000 mm², y_f = 300 + 25/2 = 312,5 mm

стенка: A_w = 16·300 = 4800 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·312,5 + 4800·150)/7800 = 212,5 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 120·25³/12 + 3000·(312,5 − 212,5)² = 3,016 × 10⁷ mm⁴

стенка: 16·300³/12 + 4800·(150 − 212,5)² = 5,475 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,016 × 10⁷ + 5,475 × 10⁷ = 8,491 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

Верхний край на расстоянии h − ȳ от оси.

y = 325 − 212,5 = 112,5 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·112,5/8,491 × 10⁷ = 26,5 MPa

Ответ

σ_верх = 26,5 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics