Статика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Векторы: скалярное и векторное произведения

Модуль
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Единичный вектор
û = a/|a|
Компоненты по углу
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Скалярное произведение
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Скалярная проекция a на b
a·b/|b|
Работа
W = F·d
Векторное произведение
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Площади
параллелограмм |a × b|, треугольник ½|a × b|
Момент относительно O
MO = r × F, r = A − O
Объём параллелепипеда
V = |a·(b × c)|

Метод

  1. Записывайте каждый вектор в компонентах; для силы, заданной модулем и углом, используйте F·cos θ и F·sin θ.
  2. Для длин и направлений используйте модуль √(x² + y² + z²) и единичный вектор a/|a|.
  3. Скалярное произведение применяйте для углов, проекций, перпендикулярности и работы: a·b = |a||b|cos θ.
  4. Векторное произведение применяйте для перпендикулярных векторов, площадей и моментов: аккуратно записывайте три компоненты, сохраняя порядок a × b.

Опорные реакции балок

Равновесие
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка
равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент
M = F·d

Метод

  1. Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
  2. Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
  3. Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
  4. Найдите оставшуюся реакцию из ΣFy = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Метод сечений
ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне
положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

  1. Найдите опорные реакции для всей фермы.
  2. Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣFx = 0 и ΣFy = 0.
  3. Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
  4. Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Рамы и механизмы

Равновесие каждого элемента
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Двухсиловой элемент
сила направлена вдоль прямой, проходящей через два его шарнира
Сила в шарнире
равны по модулю и противоположны по направлению на двух соединяемых ими элементах
Модуль силы в шарнире
F = √(Fx² + Fy²)
Рычаг, плоскогубцы, угловой рычаг
Fin·a = Fout·b
Коленно-рычажный механизм
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Равномерная нагрузка
равнодействующая w·L в середине нагрузки

Метод

  1. Нарисуйте всю конструкцию и найдите опорные реакции, если неизвестных не больше трёх.
  2. Найдите двухсиловые элементы: они нагружены только в двух шарнирах, поэтому их сила направлена вдоль прямой между шарнирами.
  3. Разберите раму на части и нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах в местах соединения элементов.
  4. Для каждого элемента возьмите моменты относительно шарнира с неизвестными силами, затем используйте ΣFx = 0 и ΣFy = 0; составляющие объедините в модуль в конце.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент
V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба
σ = M·y/I
Прямоугольник
I = bh³/12
Момент сопротивления сечения
W = I/ymax
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
  2. Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
  3. Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
  4. Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Прямоугольник
I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей
I = Ic + A·d²
Составное сечение
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

2Тренировочные задачи

1.Векторы: скалярное и векторное произведенияСредняя
xyzab

Найдите значение k, при котором векторы a = (3, −6, −5) и b = (−4, −5, k) перпендикулярны.

a = (3, −6, −5)b = (−4, −5, k)
k =
2.Векторы: скалярное и векторное произведенияСложная
xyzab

Единичный вектор n̂ перпендикулярен обоим векторам a = (−4, −2, −5) и b = (−2, 5, 3) и имеет положительную z-компоненту. Найдите его y-компоненту n̂y.

a = (−4, −2, −5)b = (−2, 5, 3)n̂z > 0
n̂y =
3.Опорные реакции балокСредняя
P1​ = 50 kNP2​ = 55 kNABRA​RB​ = ?1 m0,5 m3,5 m

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию RB.

L = 5 mP1 = 50 kN в 1 mP2 = 55 kN в 1,5 m
RB = kN
4.Опорные реакции балокСложная
w = 2 kN/mP = 45 kNABCRA​ = ?1,5 m2 m1,5 m

Балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную опору в B на расстоянии 3,5 m от A и консольный свес за B до свободного конца C. Она нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии 1,5 m от A и равномерно распределённой нагрузкой w от 3,5 m до свободного конца в точке 5 m. Найдите вертикальную реакцию RA, считая положительным направление вверх.

AB = 3,5 mAC = 5 mP = 45 kN в 1,5 mw = 2 kN/m от 3,5 до 5 m
RA = kN
5.Ферма: метод вырезания узловСредняя
ABCDEFGH10 kN25 kN10 kN4 × 4 m4 m

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

D: 10 kN ↓G: 25 kN ↓H: 10 kN ↓
  1. 1элемент AB
  2. 2элемент BC
  3. 3элемент CD
  4. 4элемент DE
  5. 5элемент FG
  6. 6элемент GH
  7. 7элемент AF
  8. 8элемент HE
  9. 9элемент BF
  10. 10элемент CG
  11. 11элемент DH
  12. 12элемент FC
  13. 13элемент HC
6.Ферма: метод вырезания узловСложная
ABCDEFGH40 kN10 kN4 × 3 m4 m

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

B: 40 kN ↓H: 10 kN ←
  1. 1элемент AB
  2. 2элемент BC
  3. 3элемент CD
  4. 4элемент DE
  5. 5элемент FG
  6. 6элемент GH
  7. 7элемент AF
  8. 8элемент HE
  9. 9элемент BF
  10. 10элемент CG
  11. 11элемент DH
  12. 12элемент BG
  13. 13элемент DG
7.Рамы и механизмыСредняя
12 kN0,8 m1,7 m0,5 mABCD

Горизонтальная балка AB закреплена шарниром на стене в A и подпёрта стойкой CD, закреплённой шарниром на стене в C, на 0,5 m ниже A. В точке B подвешена нагрузка 12 kN. Весом пренебрегите. Найдите модуль силы A в шарнире, действующей на балку в A.

P = 12 kNAD = 0,8 mAB = 2,5 mAC = 0,5 m
A = kN
8.Рамы и механизмыСложная
6 kN2 kN2 m1 mABC

Однородная горизонтальная стрела AB весом 2 kN закреплена шарниром на стене в A и удерживается тросом от её конца B до точки C на стене на 1 m выше A. В точке B подвешена нагрузка 6 kN. Найдите натяжение T троса.

W = 6 kNWb = 2 kNAB = 2 mAC = 1 m
T = kN
9.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя
w = 4 kN/mABсечение3 m1 m

Найдите изгибающий момент Mx в сечении x = 3 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 4 mw = 4 kN/m от 0 до 4 mx = 3 m
Mx = kN·m
10.Поперечная сила и изгибающий моментСложная
w = 10 kN/mABC6 m2 m

Балка опирается на неподвижный шарнир в A и подвижную опору в B и имеет консольный свес длиной 2 m за B до свободного конца C. Равномерно распределённая нагрузка w действует по всей длине A–C. Найдите наибольший положительный изгибающий момент Mmax между опорами.

L = 8 mw = 10 kN/m от 0 до 8 mопоры при x = 0 и x = 6 m
Mmax = kN·m
11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя
1202530018xразмеры в mm

Найдите момент инерции Ix таврового сечения относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

bf = 120 mmtf = 25 mmtw = 18 mmhw = 300 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Центр тяжести и момент инерцииСложная
3003012014xM = 25 kN·mразмеры в mm

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 25 kN·m. Найдите величину напряжения изгиба σверх на верхнем крае.

bf = 300 mmtf = 30 mmtw = 14 mmhw = 120 mmM = 25 kN·m
σверх = MPa

3Растворы

1.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: k = 3,6

Dot product: a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Скалярное произведение равно нулю

a·b = 3·(−4) + (−6)·(−5) + (−5)·k = 0
18 + (−5)·k = 0

Найдите k

k = −18/(−5) = 3,6

Ответ

k = 3,6
2.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: n̂y = −0,5836

Cross product: a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.

Векторное произведение

(a × b)x = aybz − azby = (−2)·3 − (−5)·5 = 19
(a × b)y = azbx − axbz = (−5)·(−2) − (−4)·3 = 22
(a × b)z = axby − aybx = (−4)·5 − (−2)·(−2) = −24

Нормирование

z-компонента a × b отрицательна, поэтому берите −(a × b).

|a × b| = √(19² + 22² + (−24)²) = 37,7
n̂ = −(19, 22, −24)/37,7 = (−0,504, −0,5836, 0,6367)
n̂y = −0,5836

Ответ

n̂y = −0,5836
3.Опорные реакции балок

Ответ: RB = 26,5 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

P1​ = 50 kNP2​ = 55 kNABRA​RB​1 m0,5 m3,5 m

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣMA = 0: RB·5 = 50·1 + 55·1,5
RB = 132,5/5 = 26,5 kN
ΣFy = 0: RA = 105 − 26,5 = 78,5 kN

Ответ

RB = 26,5 kN
4.Опорные реакции балок

Ответ: RA = 25,07 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.

Равнодействующая распределённой нагрузки

W = 2·1,5 = 3 kN, x̄ = (3,5 + 5)/2 = 4,25 m

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣMA = 0: RB·3,5 = 45·1,5 + 3·4,25
RB = 80,25/3,5 = 22,93 kN
RA = 48 − 22,93 = 25,07 kN

Ответ

RA = 25,07 kN
5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент BF

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел B

AB и BC лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только BF.

ΣF⊥ = 0 → FBF = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 17,5 kN (T), BC: 17,5 kN (T), CD: 27,5 kN (T), DE: 27,5 kN (T), FG: 35 kN (C), GH: 35 kN (C), AF: 24,75 kN (C), HE: 38,89 kN (C), BF: 0, CG: 25 kN (C), DH: 10 kN (T), FC: 24,75 kN (T), HC: 10,61 kN (T)

Ответ

Нулевой элемент: BF
6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел C

BC и CD лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 15 kN (T), BC: 10 kN (T), CD: 10 kN (T), DE: 5 kN (T), FG: 25 kN (C), GH: 15 kN (C), AF: 41,67 kN (C), HE: 8,333 kN (C), BF: 33,33 kN (T), CG: 0, DH: 6,667 kN (T), BG: 8,333 kN (T), DG: 8,333 kN (C)

Ответ

Нулевой элемент: CG
7.Рамы и механизмы

Ответ: A = 65,19 kN

Рамы и механизмы: в отличие от фермы, рама содержит хотя бы один элемент, который воспринимает силы более чем в двух точках или нагрузку между шарнирами. Сначала найдите двухсиловые элементы: у элемента, нагруженного только в двух шарнирах, сила направлена вдоль прямой через них, поэтому он добавляет одну неизвестную, а не две. Затем используйте всю конструкцию для опорных реакций, если неизвестных не больше трёх. Наконец, разберите раму: нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах на двух соединяемых ими элементах, и запишите для него ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0. Моменты относительно шарнира исключают из уравнения обе составляющие силы в этом шарнире.

Сила в стойке

FCD = 12·2,5/(0,53·0,8) = 70,75 kN

Составляющие в A

Ax = FCD·cos α = 60 kN (к стене)
Ay = 12 − FCD·sin α = −25,5 kN

Модуль

A = √(60² + −25,5²) = 65,19 kN

Ответ

A = 65,19 kN

Отрицательное Ay означает, что стена тянет балку вниз в точке A.

8.Рамы и механизмы

Ответ: T = 15,65 kN

Рамы и механизмы: в отличие от фермы, рама содержит хотя бы один элемент, который воспринимает силы более чем в двух точках или нагрузку между шарнирами. Сначала найдите двухсиловые элементы: у элемента, нагруженного только в двух шарнирах, сила направлена вдоль прямой через них, поэтому он добавляет одну неизвестную, а не две. Затем используйте всю конструкцию для опорных реакций, если неизвестных не больше трёх. Наконец, разберите раму: нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах на двух соединяемых ими элементах, и запишите для него ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0. Моменты относительно шарнира исключают из уравнения обе составляющие силы в этом шарнире.

Угол троса

BC = √(2² + 1²) = 2,236 m, sin β = 0,4472

Моменты относительно A

T·0,4472·2 = 6·2 + 2·1
T = 15,65 kN

Ответ

T = 15,65 kN
9.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: Mx = 6 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN, приложена в x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 4·4·2
RB = 32/4 = 8 kN
ΣFy = 0: RA = 16 − 8 = 8 kN
w = 4 kN/mABRA​ = 8RB​ = 8сечение3 m1 m

Рассеките в x = 3 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = RA·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)
Mx = 8·3 − 4·3·1,5 = 6 kN·m

Ответ

Mx = 6 kN·m
10.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: Mmax = 35,56 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки с учётом нагрузки на консольном свесе.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN, приложена в x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·6 = 10·8·4
RB = 320/6 = 53,33 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 53,33 = 26,67 kN

Нулевая поперечная сила

RA − w·x0 = 0 → x0 = 26,67/10 = 2,667 m

Наибольший положительный момент

Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 26,67²/(2·10) = 35,56 kN·m

Ответ

Mmax = 35,56 kN·m
11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: Ix = 91,58 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: Af = 120·25 = 3000 mm², yf = 300 + 25/2 = 312,5 mm
стенка: Aw = 18·300 = 5400 mm², yw = 300/2 = 150 mm

Центр тяжести

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (3000·312,5 + 5400·150)/8400 = 208 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 120·25³/12 + 3000·(312,5 − 208)² = 3,289 × 10⁷ mm⁴
стенка: 18·300³/12 + 5400·(150 − 208)² = 5,869 × 10⁷ mm⁴
Ix = 3,289 × 10⁷ + 5,869 × 10⁷ = 9,158 × 10⁷ mm⁴ = 91,58 × 10⁶ mm⁴

Ответ

Ix = 91,58 × 10⁶ mm⁴
12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σверх = 62,88 MPa

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: Af = 300·30 = 9000 mm², yf = 120 + 30/2 = 135 mm
стенка: Aw = 14·120 = 1680 mm², yw = 120/2 = 60 mm

Центр тяжести

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (9000·135 + 1680·60)/10680 = 123,2 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 300·30³/12 + 9000·(135 − 123,2)² = 1,928 × 10⁶ mm⁴
стенка: 14·120³/12 + 1680·(60 − 123,2)² = 8,727 × 10⁶ mm⁴
Ix = 1,928 × 10⁶ + 8,727 × 10⁶ = 1,065 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

Верхний край на расстоянии h − ȳ от оси.

y = 150 − 123,2 = 26,8 mm
σ = M·y/I = 2,5 × 10⁷·26,8/1,065 × 10⁷ = 62,88 MPa

Ответ

σверх = 62,88 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics