Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣFx = 0 и ΣFy = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.
Рамы и механизмы
Равновесие каждого элемента
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Двухсиловой элемент
сила направлена вдоль прямой, проходящей через два его шарнира
Сила в шарнире
равны по модулю и противоположны по направлению на двух соединяемых ими элементах
Модуль силы в шарнире
F = √(Fx² + Fy²)
Рычаг, плоскогубцы, угловой рычаг
Fin·a = Fout·b
Коленно-рычажный механизм
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Равномерная нагрузка
равнодействующая w·L в середине нагрузки
Метод
Нарисуйте всю конструкцию и найдите опорные реакции, если неизвестных не больше трёх.
Найдите двухсиловые элементы: они нагружены только в двух шарнирах, поэтому их сила направлена вдоль прямой между шарнирами.
Разберите раму на части и нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах в местах соединения элементов.
Для каждого элемента возьмите моменты относительно шарнира с неизвестными силами, затем используйте ΣFx = 0 и ΣFy = 0; составляющие объедините в модуль в конце.
Поперечная сила и изгибающий момент
Поперечная сила и момент
V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба
σ = M·y/I
Прямоугольник
I = bh³/12
Момент сопротивления сечения
W = I/ymax
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка
Mmax = wL²/8
Метод
Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.
Центр тяжести и момент инерции
Центр тяжести
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Прямоугольник
I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей
I = Ic + A·d²
Составное сечение
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Тренировочные задачи
1.Векторы: скалярное и векторное произведенияСредняя
Постоянная сила F = (15, −15, 5) N действует на тело, которое движется по прямой из точки A(0, −1, −5) в точку B(−3, −1, 0). Координаты даны в метрах. Найдите работу W этой силы.
F = (15, −15, 5) NA(0, −1, −5) mB(−3, −1, 0) m
W = J
2.Векторы: скалярное и векторное произведенияСложная
Для a = (−4, 4, 2) и b = (5, −2, 6) найдите y-компоненту (a × b)y векторного произведения a × b.
a = (−4, 4, 2)b = (5, −2, 6)
(a × b)y =
3.Опорные реакции балокСредняя
Шарнирно опёртая балка (неподвижный шарнир в A, подвижная опора в B) нагружена линейно изменяющейся нагрузкой, возрастающей от нуля в A до 10 kN/m в B. Найдите вертикальную опорную реакцию RA.
L = 10 mw0 = 10 kN/m
RA = kN
4.Опорные реакции балокСложная
Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию RB.
L = 5 mP = 20 kN в 4 mw = 8 kN/m от 1 до 2 m
RB = kN
5.Ферма: метод вырезания узловСредняя
Методом вырезания узлов найдите усилие FAB в стержне AB. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.
пролёт = 5 mвысота = 4 mB на расстоянии 4 m от Aвертикальная нагрузка = 45 kN
FAB = kN
6.Ферма: метод вырезания узловСложная
Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.
G: 15 kN ↓H: 35 kN ↓H: 35 kN ←
1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент BG
13элемент DG
7.Рамы и механизмыСредняя
Горизонтальная балка AB закреплена шарниром на стене в A и подпёрта стойкой CD, закреплённой шарниром на стене в C, на 1,2 m ниже A. В точке B подвешена нагрузка 6 kN. Весом пренебрегите. Найдите модуль силы A в шарнире, действующей на балку в A.
P = 6 kNAD = 2 mAB = 2,5 mAC = 1,2 m
A = kN
8.Рамы и механизмыСложная
A-образная рама на рисунке стоит на шарнире в A и катке в B на расстоянии 4,8 m друг от друга. Ножки сходятся в шарнире C на высоте 4 m и стянуты горизонтальной перемычкой DE на высоте 0,8 m. В точке C действует горизонтальная сила 10 kN, направленная вправо. Найдите натяжение T в затяжке.
P = 10 kNAB = 4,8 mвысота C = 4 mвысота DE = 0,8 m
T = kN
9.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя
Найдите поперечную силу Vx в сечении x = 0,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.
L = 4 mw = 10 kN/m от 0 до 4 mx = 0,5 m
Vx = kN
10.Поперечная сила и изгибающий моментСложная
Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.
40 kN @ 0 m55 kN @ 6 m15 kN @ 3 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)
11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя
Швеллер расположен открытой стороной вверх: стенка-основание шириной 280 mm с двумя вертикальными полками полной высотой 80 mm. Толщина основания и полок 16 mm. Найдите его момент инерции Ix относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.
b = 280 mmh = 80 mmt = 16 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Центр тяжести и момент инерцииСложная
Чугунная балка имеет показанное тавровое сечение с полкой сверху. Допускаемые напряжения: 35 MPa при растяжении и 150 MPa при сжатии. Найдите наибольший положительный изгибающий момент Mallow, который может воспринять балка.
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Перемещение
d = B − A = (−3, −1, 0) − (0, −1, −5) = (−3, 0, 5) m
Работа
W = F·d = 15·(−3) + (−15)·0 + 5·5 = −20 J
Ответ
W = −20 J
Отрицательная работа: сила действует в основном против движения.
2.Векторы: скалярное и векторное произведения
Ответ: (a × b)y = 34
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Векторное произведение по компонентам
(a × b)x = aybz − azby = 4·6 − 2·(−2) = 28
(a × b)y = azbx − axbz = 2·5 − (−4)·6 = 34
(a × b)z = axby − aybx = (−4)·(−2) − 4·5 = −12
Искомая компонента
(a × b)y = 34
Ответ
(a × b)y = 34
Проверка: a × b перпендикулярно обоим векторам, поэтому его скалярные произведения с a и с b равны нулю.
3.Опорные реакции балок
Ответ: RA = 16,67 kN
Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.
Равнодействующая треугольной нагрузки
W = ½·10·10 = 50 kN
x̄ = 2L/3 = 6,667 m
Равновесие
Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.
ΣMA = 0: RB·10 = 50·6,667
RB = 33,33 kN
RA = 50 − 33,33 = 16,67 kN
Ответ
RA = 16,67 kN
4.Опорные реакции балок
Ответ: RB = 18,4 kN
Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.
Расчётная схема
Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.
Равновесие
Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.
Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 8·1 = 8 kN, приложена в x̄ = 1,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 20·4 + 8·1·1,5
RB = 92/5 = 18,4 kN
ΣFy = 0: RA = 28 − 18,4 = 9,6 kN
Ответ
RB = 18,4 kN
5.Ферма: метод вырезания узлов
Ответ: FAB = −12,73 kN
Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣFx = 0 и ΣFy = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.
Опорные реакции
Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.
ΣMA = 0: Cy·5 = 45·4 → Cy = 36 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 36 = 9 kN
Узел A
Предположите, что каждый стержень растянут (тянет от узла). Только AB имеет вертикальную составляющую в узле A.
sin α = 4/5,657 = 0,7071
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −9/0,7071 = −12,73 kN
Ответ
FAB = −12,73 kN (сжатие)
6.Ферма: метод вырезания узлов
Ответ: элемент CG
Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.
Узел C
BC и CD лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Проверка методом вырезания узлов
Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).
Рамы и механизмы: в отличие от фермы, рама содержит хотя бы один элемент, который воспринимает силы более чем в двух точках или нагрузку между шарнирами. Сначала найдите двухсиловые элементы: у элемента, нагруженного только в двух шарнирах, сила направлена вдоль прямой через них, поэтому он добавляет одну неизвестную, а не две. Затем используйте всю конструкцию для опорных реакций, если неизвестных не больше трёх. Наконец, разберите раму: нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах на двух соединяемых ими элементах, и запишите для него ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0. Моменты относительно шарнира исключают из уравнения обе составляющие силы в этом шарнире.
Сила в стойке
FCD = 6·2,5/(0,5145·2) = 14,58 kN
Составляющие в A
Ax = FCD·cos α = 12,5 kN (к стене)
Ay = 6 − FCD·sin α = −1,5 kN
Модуль
A = √(12,5² + −1,5²) = 12,59 kN
Ответ
A = 12,59 kN
Отрицательное Ay означает, что стена тянет балку вниз в точке A.
8.Рамы и механизмы
Ответ: T = 6,25 kN
Рамы и механизмы: в отличие от фермы, рама содержит хотя бы один элемент, который воспринимает силы более чем в двух точках или нагрузку между шарнирами. Сначала найдите двухсиловые элементы: у элемента, нагруженного только в двух шарнирах, сила направлена вдоль прямой через них, поэтому он добавляет одну неизвестную, а не две. Затем используйте всю конструкцию для опорных реакций, если неизвестных не больше трёх. Наконец, разберите раму: нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах на двух соединяемых ими элементах, и запишите для него ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0. Моменты относительно шарнира исключают из уравнения обе составляющие силы в этом шарнире.
Вся рама: моменты относительно A
By·4,8 = 10·4
By = 8,333 kN
Ножка BC: моменты относительно C
8,333·2,4 = T·3,2
T = 6,25 kN
Ответ
T = 6,25 kN
Положительное T означает, что затяжка растянута, как и предполагалось.
9.Поперечная сила и изгибающий момент
Ответ: Vx = 15 kN
Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.
Опорные реакции
Равновесие всей балки.
Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 10·4 = 40 kN, приложена в x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 10·4·2
RB = 80/4 = 20 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 20 = 20 kN
Рассеките в x = 0,5 m и оставьте левую часть
Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.
V = RA − (все нагрузки вниз левее сечения)
Vx = 20 − 10·0,5 = 15 kN
Ответ
Vx = 15 kN
10.Поперечная сила и изгибающий момент
Ответ: F (x = 5 m)
Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.
Опорные реакции
Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.
R1 = 43,75 kN, R2 = 66,25 kN
Изгибающий момент в каждой отметке
Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.
MA = 0, MB = −40, MC = −36,25, MD = −32,5, ME = −43,75, MF = −55 kN·m, MG = 0
Ответ
Отметка F: MF = −55 kN·m
11.Центр тяжести и момент инерции
Ответ: Ix = 3,043 × 10⁶ mm⁴
Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.
Разбиваем на прямоугольники
Возьмите основание во всю ширину и две полки над ним (высотой h − t), чтобы ничего не учитывать дважды.
основа: A1 = 280·16 = 4480 mm², y1 = 8 mm
две полки: A2 = 2·16·64 = 2048 mm², y2 = 16 + 64/2 = 48 mm
Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.