Статика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Векторы: скалярное и векторное произведения

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Единичный вектор: û = a/|a|
Компоненты по углу: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярное произведение: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярная проекция a на b: a·b/|b|
Работа: W = F·d
Векторное произведение: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площади: параллелограмм |a × b|, треугольник ½|a × b|
Момент относительно O: M_O = r × F, r = A − O
Объём параллелепипеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Записывайте каждый вектор в компонентах; для силы, заданной модулем и углом, используйте F·cos θ и F·sin θ.
Для длин и направлений используйте модуль √(x² + y² + z²) и единичный вектор a/|a|.
Скалярное произведение применяйте для углов, проекций, перпендикулярности и работы: a·b = |a||b|cos θ.
Векторное произведение применяйте для перпендикулярных векторов, площадей и моментов: аккуратно записывайте три компоненты, сохраняя порядок a × b.

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Рамы и механизмы

Равновесие каждого элемента: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двухсиловой элемент: сила направлена вдоль прямой, проходящей через два его шарнира
Сила в шарнире: равны по модулю и противоположны по направлению на двух соединяемых ими элементах
Модуль силы в шарнире: F = √(F_x² + F_y²)
Рычаг, плоскогубцы, угловой рычаг: F_in·a = F_out·b
Коленно-рычажный механизм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки

Метод

Нарисуйте всю конструкцию и найдите опорные реакции, если неизвестных не больше трёх.
Найдите двухсиловые элементы: они нагружены только в двух шарнирах, поэтому их сила направлена вдоль прямой между шарнирами.
Разберите раму на части и нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах в местах соединения элементов.
Для каждого элемента возьмите моменты относительно шарнира с неизвестными силами, затем используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0; составляющие объедините в модуль в конце.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Тренировочные задачи

1.Векторы: скалярное и векторное произведенияСредняя

Найдите угол θ между векторами a = (0, 2, 1) и b = (−5, 6, 3) в градусах.

a = (0, 2, 1)b = (−5, 6, 3)

θ = °

2.Векторы: скалярное и векторное произведенияСложная

Для a = (2, −4, 1) и b = (−2, −5, −3) найдите z-компоненту (a × b)_z векторного произведения a × b.

a = (2, −4, 1)b = (−2, −5, −3)

(a × b)_z =

3.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Она нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии 5 m от A и сосредоточенным моментом M, направленным по часовой стрелке, на расстоянии 4 m от A. Найдите вертикальную реакцию R_B, считая положительным направление вверх.

L = 10 mP = 80 kN в 5 mM = 60 kN·m (по часовой стрелке) в 4 m

R_B = kN

4.Опорные реакции балокСложная

Консольная балка защемлена в стене в точке A. Она нагружена линейно изменяющейся нагрузкой, равной нулю у стены и возрастающей до 12 kN/m на свободном конце B, а также сосредоточенной силой P на расстоянии 5 m от стены. Найдите величину реактивного момента M_A в заделке.

L = 8 mw₀ = 12 kN/mP = 65 kN в 5 m

M_A = kN·m

5.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Методом вырезания узлов найдите усилие F_AB в стержне AB. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 8 mвысота = 2 mB на расстоянии 3 m от Aвертикальная нагрузка = 50 kN

F_AB = kN

6.Ферма: метод вырезания узловСложная

Методом вырезания узлов найдите усилие F_AC в стержне AC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 8 mвысота = 2 mB на расстоянии 7 m от Aвертикальная нагрузка = 55 kNгоризонтальная нагрузка = 25 kN →

F_AC = kN

7.Рамы и механизмыСредняя

Рама на рисунке имеет шарниры в A, B и C; A и C закреплены на земле на расстоянии 3 m друг от друга, а B находится на высоте 4 m над землёй и на 0,45 m правее A. Вертикальная нагрузка 12 kN действует на элемент AB в точке K на расстоянии 0,1125 m (по горизонтали) от A. Найдите силу F_BC в элементе BC.

P = 12 kNL = 3 mH = 4 mгоризонтальное расстояние от A до B = 0,45 mгоризонтальное расстояние от A до K = 0,1125 m

F_BC = kN

8.Рамы и механизмыСложная

Однородная горизонтальная стрела AB весом 1 kN закреплена шарниром на стене в A и удерживается тросом от B до точки C на стене на 3 m выше A. В точке B подвешена нагрузка 4 kN. Найдите модуль реакции A в шарнире.

W = 4 kNW_b = 1 kNAB = 4 mAC = 3 m

A = kN

9.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Консоль защемлена в A. Она нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине и сосредоточенной силой P на расстоянии 4 m от A. Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 3,5 m от заделки A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 4 mP = 70 kN в 4 mw = 12 kN/m от 0 до 4 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Балка опирается на неподвижный шарнир в A и подвижную опору в B и имеет консольный свес длиной 1,5 m за B до свободного конца C. Равномерно распределённая нагрузка w действует по всей длине A–C. Найдите наибольший положительный изгибающий момент M_max между опорами.

L = 9,5 mw = 10 kN/m от 0 до 9,5 mопоры при x = 0 и x = 8 m

M_max = kN·m

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Круглая труба имеет наружный диаметр D = 220 mm и внутренний диаметр d = 212 mm. Найдите его радиус инерции r относительно горизонтальной центральной оси.

D = 220 mmd = 212 mm

r = mm

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Чугунная балка имеет показанное тавровое сечение с полкой сверху. Допускаемые напряжения: 60 MPa при растяжении и 150 MPa при сжатии. Найдите наибольший положительный изгибающий момент M_allow, который может воспринять балка.

b_f = 200 mmt_f = 10 mmt_w = 16 mmh_w = 160 mmσ_t,allow = 60 MPaσ_c,allow = 150 MPa

M_allow = kN·m

3Растворы

1.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: θ = 36,7 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Скалярное произведение

a·b = 0·(−5) + 2·6 + 1·3 = 15

Модули

|a| = √(0² + 2² + 1²) = 2,236

|b| = √((−5)² + 6² + 3²) = 8,367

Угол

cos θ = 15/(2,236·8,367) = 0,8018

θ = arccos(0,8018) = 36,7°

Ответ

θ = 36,7°

2.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: (a × b)_z = −18

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Векторное произведение по компонентам

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−4)·(−3) − 1·(−5) = 17

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 1·(−2) − 2·(−3) = 4

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 2·(−5) − (−4)·(−2) = −18

Искомая компонента

(a × b)_z = −18

Ответ

(a × b)_z = −18

Проверка: a × b перпендикулярно обоим векторам, поэтому его скалярные произведения с a и с b равны нулю.

3.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = 46 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.

Моменты относительно A

Против часовой стрелки — положительно.

ΣM_A = 0: R_B·10 − 80·5 − 60 = 0

R_B = 460/10 = 46 kN

Равновесие по вертикали

R_A = 80 − 46 = 34 kN

Ответ

R_B = 46 kN

Отрицательная реакция направлена вниз.

4.Опорные реакции балок

Ответ: M_A = 581 kN·m

Равновесие консоли: заделка может давить вверх и препятствовать повороту, поэтому она даёт вертикальную реакцию R_A и реактивный момент M_A. ΣF_y = 0 даёт R_A, а моменты относительно стены дают M_A = Σ(нагрузка × расстояние от стены). Распределённая нагрузка действует как её равнодействующая, приложенная в центре тяжести эпюры нагрузки.

Равнодействующая треугольной нагрузки

W = ½·12·8 = 48 kN

x̄ = 2L/3 = 5,333 m

Момент относительно стены

M_A = W·x̄ + P·a = 48·5,333 + 65·5 = 581 kN·m

Ответ

M_A = 581 kN·m

5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AB = −56,34 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 50·3 → C_y = 18,75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 18,75 = 31,25 kN

Узел A

Предположите, что каждый стержень растянут (тянет от узла). Только AB имеет вертикальную составляющую в узле A.

sin α = 2/3,606 = 0,5547

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −31,25/0,5547 = −56,34 kN

Ответ

F_AB = −56,34 kN (сжатие)

6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AC = 27,19 kN

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 55·7 + 25·2 → C_y = 54,38 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 54,38 = 0,625 kN

ΣF_x = 0: A_x = −25 kN

Узел C

Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.

sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −54,38/0,8944 = −60,79 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−60,79)·0,4472 = 27,19 kN

Ответ

F_AC = 27,19 kN (растяжение)

7.Рамы и механизмы

Ответ: F_BC = 0,5337 kN

Рамы и механизмы: в отличие от фермы, рама содержит хотя бы один элемент, который воспринимает силы более чем в двух точках или нагрузку между шарнирами. Сначала найдите двухсиловые элементы: у элемента, нагруженного только в двух шарнирах, сила направлена вдоль прямой через них, поэтому он добавляет одну неизвестную, а не две. Затем используйте всю конструкцию для опорных реакций, если неизвестных не больше трёх. Наконец, разберите раму: нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах на двух соединяемых ими элементах, и запишите для него ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0. Моменты относительно шарнира исключают из уравнения обе составляющие силы в этом шарнире.

Двухсиловой элемент BC

BC = √(2,55² + 4²) = 4,744 m

Вся рама: моменты относительно A

Земля действует на BC в точке C вдоль CB; её горизонтальная составляющая проходит через A, момент создаёт только вертикальная.

F_BC·(4/4,744)·3 = 12·0,1125

F_BC = 0,5337 kN (сжатие)

Ответ

F_BC = 0,5337 kN

8.Рамы и механизмы

Ответ: A = 6,021 kN

Натяжение троса

T = (4 + 1/2)/0,6 = 7,5 kN

Составляющие в A

A_x = T·cos β = 6 kN

A_y = 4 + 1 − T·sin β = 0,5 kN

Модуль

A = √(6² + 0,5²) = 6,021 kN

Ответ

A = 6,021 kN

9.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = −36,5 kN·m

Оставляем часть со свободным концом

P: −70·0,5 = −35 kN·m

w: −12·0,5²/2 = −1,5 kN·m

M_x = −35 − 1,5 = −36,5 kN·m

Ответ

M_x = −36,5 kN·m

Знак минус означает, что растянута верхняя грань.

10.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_max = 74,47 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки с учётом нагрузки на консольном свесе.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 10·9,5 = 95 kN, приложена в x̄ = 4,75 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 10·9,5·4,75

R_B = 451,3/8 = 56,41 kN

ΣF_y = 0: R_A = 95 − 56,41 = 38,59 kN

Нулевая поперечная сила

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 38,59/10 = 3,859 m

Наибольший положительный момент

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 38,59²/(2·10) = 74,47 kN·m

Ответ

M_max = 74,47 kN·m

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: r = 76,38 mm

Момент инерции сечения: для прямоугольника относительно его собственной центральной оси I = bh³/12, а относительно основания bh³/3 (теорема о параллельном переносе осей I = I_c + A·d²). Отверстие учитывают, вычитая его I, если обе части отнесены к одной и той же оси. Момент сопротивления сечения S = I/c, где c — расстояние до крайнего волокна. Радиус инерции r = √(I/A) — это расстояние, на котором вся площадь дала бы тот же I; он используется при расчёте колонн на устойчивость.

Площадь и момент инерции нетто

A = π(D² − d²)/4 = 2714 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 1,584 × 10⁷ mm⁴

Радиус инерции

r = √(I/A) = √(1,584 × 10⁷/2714) = 76,38 mm

Ответ

r = 76,38 mm

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: M_allow = 6,953 kN·m

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Центр тяжести

ȳ = (2000·165 + 2560·80)/4560 = 117,3 mm

верхняя кромка: c = 170 − 117,3 = 52,72 mm

Момент инерции сечения

I = 200·10³/12 + 2000·47,72² + 16·160³/12 + 2560·37,28² = 1,359 × 10⁷ mm⁴

Момент, допускаемый каждой кромкой

Положительный момент: верх сжат, низ растянут.

верхняя кромка: M = 150·1,359 × 10⁷/52,72 = 38,67 kN·m

нижняя кромка: M = 60·1,359 × 10⁷/117,3 = 6,953 kN·m

Определяющее значение

M_allow = min = 6,953 kN·m (нижняя кромка)

Ответ

M_allow = 6,953 kN·m

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics