Статика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Векторы: скалярное и векторное произведения

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Единичный вектор: û = a/|a|
Компоненты по углу: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярное произведение: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярная проекция a на b: a·b/|b|
Работа: W = F·d
Векторное произведение: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площади: параллелограмм |a × b|, треугольник ½|a × b|
Момент относительно O: M_O = r × F, r = A − O
Объём параллелепипеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Записывайте каждый вектор в компонентах; для силы, заданной модулем и углом, используйте F·cos θ и F·sin θ.
Для длин и направлений используйте модуль √(x² + y² + z²) и единичный вектор a/|a|.
Скалярное произведение применяйте для углов, проекций, перпендикулярности и работы: a·b = |a||b|cos θ.
Векторное произведение применяйте для перпендикулярных векторов, площадей и моментов: аккуратно записывайте три компоненты, сохраняя порядок a × b.

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Рамы и механизмы

Равновесие каждого элемента: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двухсиловой элемент: сила направлена вдоль прямой, проходящей через два его шарнира
Сила в шарнире: равны по модулю и противоположны по направлению на двух соединяемых ими элементах
Модуль силы в шарнире: F = √(F_x² + F_y²)
Рычаг, плоскогубцы, угловой рычаг: F_in·a = F_out·b
Коленно-рычажный механизм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки

Метод

Нарисуйте всю конструкцию и найдите опорные реакции, если неизвестных не больше трёх.
Найдите двухсиловые элементы: они нагружены только в двух шарнирах, поэтому их сила направлена вдоль прямой между шарнирами.
Разберите раму на части и нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах в местах соединения элементов.
Для каждого элемента возьмите моменты относительно шарнира с неизвестными силами, затем используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0; составляющие объедините в модуль в конце.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Тренировочные задачи

1.Векторы: скалярное и векторное произведенияСредняя

Найдите скалярную проекцию comp_b a вектора a = (3, 7, 7) на b = (3, −1, −4), то есть компоненту a в направлении b.

a = (3, 7, 7)b = (3, −1, −4)

comp_b a =

2.Векторы: скалярное и векторное произведенияСложная

Найдите площадь A параллелограмма, построенного на a = (6, −5, −5) и b = (4, −2, 1).

a = (6, −5, −5)b = (4, −2, 1)

A =

3.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка (неподвижный шарнир в A, подвижная опора в B) нагружена линейно изменяющейся нагрузкой, возрастающей от нуля в A до 15 kN/m в B. Кроме того, на расстоянии 1,5 m от A действует сосредоточенная сила P. Найдите вертикальную опорную реакцию R_B.

L = 5 mw₀ = 15 kN/mP = 20 kN в 1,5 m

R_B = kN

4.Опорные реакции балокСложная

Составная балка защемлена в стене в точке A, имеет промежуточный шарнир в C (на расстоянии 4 m от A) и опирается на подвижную опору в D (на расстоянии 8 m от A). Она нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии 6 m от A, равномерно распределённой нагрузкой w по всему участку CD. Найдите реакцию R_D подвижной опоры.

AC = 4 mAD = 8 mP = 60 kN в 6 mw = 5 kN/m от 4 до 8 m

R_D = kN

5.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Методом вырезания узлов найдите усилие F_BC в стержне BC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 6 mвысота = 2 mB на расстоянии 5 m от Aвертикальная нагрузка = 10 kN

F_BC = kN

6.Ферма: метод вырезания узловСложная

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

C: 25 kN ↓D: 20 kN ↓G: 25 kN ↓H: 30 kN ←

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент FC
13элемент HC

7.Рамы и механизмыСредняя

Угловой рычаг на рисунке поворачивается вокруг шарнира O. Вертикальная сила 120 N в точке A (200 mm от O) уравновешивается горизонтальной силой в точке B (150 mm выше O). Найдите модуль реакции F_O в шарнире.

F = 120 NOA = 200 mmOB = 150 mm

F_O = N

8.Рамы и механизмыСложная

Коленно-рычажный пресс имеет два равных звена AB и BC длиной 80 mm между шарнирами каждое. Шарнир B находится на 20 mm выше прямой AC. Какая направленная вниз сила F в точке B создаёт горизонтальную силу прессования 1000 N на ползуне C? Трением и весом пренебрегите.

Q = 1000 NAB = BC = 80 mmh = 20 mm

F = N

9.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

30 kN @ 6 m5 kN/m, 2–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

10.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 1,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 4 mP = 50 kN в 1,5 mw = 4 kN/m от 0 до 4 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Швеллер расположен открытой стороной вверх: стенка-основание шириной 100 mm с двумя вертикальными полками полной высотой 60 mm. Толщина основания и полок 8 mm. Найдите высоту ȳ центра тяжести над нижней кромкой.

b = 100 mmh = 60 mmt = 8 mm

ȳ = mm

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 50 kN·m. Найдите величину напряжения изгиба σ_верх на верхнем крае.

b_f = 140 mmt_f = 10 mmt_w = 12 mmh_w = 180 mmM = 50 kN·m

σ_верх = MPa

3Растворы

1.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: comp_b a = −5,099

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Скалярное произведение

a·b = 3·3 + 7·(−1) + 7·(−4) = −26

Длина b

|b| = √(3² + (−1)² + (−4)²) = 5,099

Скалярная проекция

comp_b a = a·b/|b| = −26/5,099 = −5,099

Ответ

comp_b a = −5,099

Отрицательная: у a есть компонента, направленная против b.

2.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: A = 31,06

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Векторное произведение

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−5)·1 − (−5)·(−2) = −15

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−5)·4 − 6·1 = −26

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 6·(−2) − (−5)·4 = 8

Площадь

A = |a × b| = √((−15)² + (−26)² + 8²) = 31,06

Ответ

A = 31,06

3.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = 31 kN

Равнодействующая треугольной нагрузки

W = ½·15·5 = 37,5 kN

x̄ = 2L/3 = 3,333 m

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 37,5·3,333 + 20·1,5

R_B = 31 kN

R_A = 57,5 − 31 = 26,5 kN

Ответ

R_B = 31 kN

4.Опорные реакции балок

Ответ: R_D = 40 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию. Промежуточный шарнир не может передавать изгибающий момент, что даёт одно дополнительное уравнение: момент относительно шарнира сил, действующих с любой его стороны, равен нулю.

Часть CD

В шарнире момента нет, поэтому моменты относительно C для одной только части CD должны уравновешиваться.

W = 5·4 = 20 kN в 2 m от C

ΣM_C = 0: R_D·4 = 60·2 + 20·2

R_D = 40 kN

V_C = 80 − 40 = 40 kN

Ответ

R_D = 40 kN

5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_BC = −9,317 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 10·5 → C_y = 8,333 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − 8,333 = 1,667 kN

Узел C

Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.

sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −8,333/0,8944 = −9,317 kN

Ответ

F_BC = −9,317 kN (сжатие)

6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент BF

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел B

AB и BC лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только BF.

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 7,5 kN (T), BC: 7,5 kN (T), CD: 32,5 kN (T), DE: 32,5 kN (T), FG: 75 kN (C), GH: 75 kN (C), AF: 53,03 kN (C), HE: 45,96 kN (C), BF: 0, CG: 25 kN (C), DH: 20 kN (T), FC: 53,03 kN (T), HC: 17,68 kN (T)

Ответ

Нулевой элемент: BF

7.Рамы и механизмы

Ответ: F_O = 200 N

Механизмы: плоскогубцы, рычаги, шарнирные системы и зажимы преобразуют входную силу в большую или иначе направленную выходную. Нарисуйте одну часть как свободное тело и возьмите моменты относительно её оси: сила в шарнире выпадает, а F_in·a = F_out·b даёт выигрыш в силе a/b. Сила в шарнире затем следует из ΣF = 0 для той же части. В коленно-рычажном механизме два звена сходятся под малым углом θ; каждое звено — двухсиловой элемент, поэтому малая сила F в узле создаёт большие силы в звеньях F/(2 sin θ) и зажимную силу F/(2 tan θ).

Сила в B

Q = 120·200/150 = 160 N

Реакция в шарнире

O_x = 160 N, O_y = 120 N

F_O = √(160² + 120²) = 200 N

Ответ

F_O = 200 N

8.Рамы и механизмы

Ответ: F = 516,4 N

Угол звена

sin θ = 20/80 = 0,25, θ = 14,48°

Сила в звене

F_link = Q/cos θ = 1033 N

Сила в B

F = 2·F_link·sin θ = 2·1000·tan θ = 516,4 N

Ответ

F = 516,4 N

9.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: D (x = 6 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 35,83 kN, R₂ = 44,17 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = 71,67, M_C = 133,3, M_D = 175 kN·m, M_E = 136,7, M_F = 78,33, M_G = 0

Ответ

Отметка D: M_D = 175 kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 54,38 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN, приложена в x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 50·1,5 + 4·4·2

R_B = 107/4 = 26,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 66 − 26,75 = 39,25 kN

Рассеките в x = 1,5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 39,25·1,5 − 4·1,5·0,75 = 54,38 kN·m

Ответ

M_x = 54,38 kN·m

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: ȳ = 19,29 mm

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбиваем на прямоугольники

Возьмите основание во всю ширину и две полки над ним (высотой h − t), чтобы ничего не учитывать дважды.

основа: A₁ = 100·8 = 800 mm², y₁ = 4 mm

две полки: A₂ = 2·8·52 = 832 mm², y₂ = 8 + 52/2 = 34 mm

Центр тяжести

ȳ = (800·4 + 832·34)/1632 = 19,29 mm

Ответ

ȳ = 19,29 mm

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_верх = 231,8 MPa

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 140·10 = 1400 mm², y_f = 180 + 10/2 = 185 mm

стенка: A_w = 12·180 = 2160 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1400·185 + 2160·90)/3560 = 127,4 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 140·10³/12 + 1400·(185 − 127,4)² = 4,663 × 10⁶ mm⁴

стенка: 12·180³/12 + 2160·(90 − 127,4)² = 8,847 × 10⁶ mm⁴

I_x = 4,663 × 10⁶ + 8,847 × 10⁶ = 1,351 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

Верхний край на расстоянии h − ȳ от оси.

y = 190 − 127,4 = 62,64 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·62,64/1,351 × 10⁷ = 231,8 MPa

Ответ

σ_верх = 231,8 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics