Статика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Векторы: скалярное и векторное произведения

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Единичный вектор: û = a/|a|
Компоненты по углу: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярное произведение: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярная проекция a на b: a·b/|b|
Работа: W = F·d
Векторное произведение: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площади: параллелограмм |a × b|, треугольник ½|a × b|
Момент относительно O: M_O = r × F, r = A − O
Объём параллелепипеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Записывайте каждый вектор в компонентах; для силы, заданной модулем и углом, используйте F·cos θ и F·sin θ.
Для длин и направлений используйте модуль √(x² + y² + z²) и единичный вектор a/|a|.
Скалярное произведение применяйте для углов, проекций, перпендикулярности и работы: a·b = |a||b|cos θ.
Векторное произведение применяйте для перпендикулярных векторов, площадей и моментов: аккуратно записывайте три компоненты, сохраняя порядок a × b.

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Рамы и механизмы

Равновесие каждого элемента: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двухсиловой элемент: сила направлена вдоль прямой, проходящей через два его шарнира
Сила в шарнире: равны по модулю и противоположны по направлению на двух соединяемых ими элементах
Модуль силы в шарнире: F = √(F_x² + F_y²)
Рычаг, плоскогубцы, угловой рычаг: F_in·a = F_out·b
Коленно-рычажный механизм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки

Метод

Нарисуйте всю конструкцию и найдите опорные реакции, если неизвестных не больше трёх.
Найдите двухсиловые элементы: они нагружены только в двух шарнирах, поэтому их сила направлена вдоль прямой между шарнирами.
Разберите раму на части и нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах в местах соединения элементов.
Для каждого элемента возьмите моменты относительно шарнира с неизвестными силами, затем используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0; составляющие объедините в модуль в конце.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Тренировочные задачи

1.Векторы: скалярное и векторное произведенияСредняя

Найдите угол θ между векторами a = (−5, −4, −4) и b = (0, 5, 1) в градусах.

a = (−5, −4, −4)b = (0, 5, 1)

θ = °

2.Векторы: скалярное и векторное произведенияСложная

Найдите объём V параллелепипеда, рёбра которого из одной вершины равны a = (1, 4, −5), b = (−3, −2, 2) и c = (−2, 3, 5).

a = (1, 4, −5)b = (−3, −2, 2)c = (−2, 3, 5)

V =

3.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_A.

L = 10 mP₁ = 35 kN в 6 mP₂ = 60 kN в 8 m

R_A = kN

4.Опорные реакции балокСложная

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. На расстоянии 3 m от A действует сила P, наклонённая под углом 40° к горизонтали, а на расстоянии 5 m от A — вертикальная сила Q. Найдите величину полной силы реакции R_A в шарнире A.

L = 6 mP = 10 kN в 3 m, θ = 40°Q = 50 kN в 5 m

R_A = kN

5.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

D: 15 kN ↓G: 25 kN ↓H: 10 kN ↓

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент BG
13элемент DG

6.Ферма: метод вырезания узловСложная

B: 30 kN ↓F: 40 kN ↓H: 25 kN ↓H: 30 kN ←

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент BG
13элемент DG

7.Рамы и механизмыСредняя

В показанном коленно-рычажном зажиме два равных звена AB и BC соединены шарниром в B, и каждое составляет угол 30° с прямой AC. В точке B приложена направленная вниз сила 100 N. Ползун C прижимает заготовку. Пренебрегая трением и весом, найдите горизонтальную зажимную силу Q.

F = 100 Nθ = 30°

Q = N

8.Рамы и механизмыСложная

A-образная рама на рисунке стоит на шарнире в A и катке в B на расстоянии 3,2 m друг от друга, её верхний шарнир C находится на высоте 4,5 m, а горизонтальная затяжка DE — на 1,5 m над землёй. Вертикальная нагрузка 2 kN действует на ножку AC в точке K на расстоянии 0,8 m (по горизонтали) от A. Найдите модуль силы C, с которой шарнир C действует на ножку BC.

P = 2 kNAB = 3,2 mвысота C = 4,5 mвысота DE = 1,5 mгоризонтальное расстояние от A до K = 0,8 m

C = kN

9.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Найдите поперечную силу V_x в сечении x = 2 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 8 mw = 6 kN/m от 0 до 8 mx = 2 m

V_x = kN

10.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 4 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 6 mP = 35 kN в 2 mw = 5 kN/m от 0 до 6 mx = 4 m

M_x = kN·m

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Круглая труба имеет наружный диаметр D = 280 mm и внутренний диаметр d = 264 mm. Найдите его радиус инерции r относительно горизонтальной центральной оси.

D = 280 mmd = 264 mm

r = mm

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Сварной двутавр имеет верхнюю полку 190 × 22 mm, стенку высотой 180 mm и толщиной 14 mm и нижнюю полку 290 × 12 mm (ширина × толщина). Найдите его момент инерции I_x относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

верхняя полка: 190 × 22 mmстенка: 14 × 180 mmнижняя полка: 290 × 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Растворы

1.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: θ = 128,6 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Скалярное произведение

a·b = (−5)·0 + (−4)·5 + (−4)·1 = −24

Модули

|a| = √((−5)² + (−4)² + (−4)²) = 7,55

|b| = √(0² + 5² + 1²) = 5,099

Угол

cos θ = −24/(7,55·5,099) = −0,6234

θ = arccos(−0,6234) = 128,6°

Ответ

θ = 128,6°

2.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: V = 93

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Векторное произведение b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = (−2)·5 − 2·3 = −16

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = 2·(−2) − (−3)·5 = 11

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = (−3)·3 − (−2)·(−2) = −13

Скалярное произведение с a

a·(b × c) = 1·(−16) + 4·11 + (−5)·(−13) = 93

V = |93| = 93

Ответ

V = 93

3.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 26 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 35·6 + 60·8

R_B = 690/10 = 69 kN

ΣF_y = 0: R_A = 95 − 69 = 26 kN

Ответ

R_A = 26 kN

4.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 13,86 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.

Составляющие P

P_v = 10·sin 40° = 6,428 kN

P_h = 10·cos 40° = 7,66 kN

Реакции

ΣM_A = 0: R_B·6 = 6,428·3 + 50·5 → R_B = 44,88 kN

A_y = 6,428 + 50 − 44,88 = 11,55 kN

A_x = P_h = 7,66 kN

Равнодействующая реакция в A

R_A = √(7,66² + 11,55²) = 13,86 kN

Ответ

R_A = 13,86 kN

5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел C

BC и CD лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 18,75 kN (T), BC: 37,5 kN (T), CD: 37,5 kN (T), DE: 31,25 kN (T), FG: 18,75 kN (C), GH: 31,25 kN (C), AF: 26,52 kN (C), HE: 44,19 kN (C), BF: 18,75 kN (T), CG: 0, DH: 21,25 kN (T), BG: 26,52 kN (C), DG: 8,839 kN (C)

Ответ

Нулевой элемент: CG

6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Узел C

BC и CD лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 21,56 kN (T), BC: 20,62 kN (T), CD: 20,62 kN (T), DE: 19,69 kN (T), FG: 51,56 kN (C), GH: 49,69 kN (C), AF: 85,94 kN (C), HE: 32,81 kN (C), BF: 28,75 kN (T), CG: 0, DH: 1,25 kN (T), BG: 1,562 kN (T), DG: 1,562 kN (C)

Ответ

Нулевой элемент: CG

7.Рамы и механизмы

Ответ: Q = 86,6 N

Механизмы: плоскогубцы, рычаги, шарнирные системы и зажимы преобразуют входную силу в большую или иначе направленную выходную. Нарисуйте одну часть как свободное тело и возьмите моменты относительно её оси: сила в шарнире выпадает, а F_in·a = F_out·b даёт выигрыш в силе a/b. Сила в шарнире затем следует из ΣF = 0 для той же части. В коленно-рычажном механизме два звена сходятся под малым углом θ; каждое звено — двухсиловой элемент, поэтому малая сила F в узле создаёт большие силы в звеньях F/(2 sin θ) и зажимную силу F/(2 tan θ).

Равновесие шарнира B

2·F_link·sin 30° = 100

F_link = 100 N

Зажимная сила

Q = F_link·cos 30° = 100/(2·tan 30°) = 86,6 N

Ответ

Q = 86,6 N

Отношение сил Q/F = 0,866 неограниченно растёт по мере выпрямления звеньев.

8.Рамы и механизмы

Ответ: C = 0,5667 kN

Рамы и механизмы: в отличие от фермы, рама содержит хотя бы один элемент, который воспринимает силы более чем в двух точках или нагрузку между шарнирами. Сначала найдите двухсиловые элементы: у элемента, нагруженного только в двух шарнирах, сила направлена вдоль прямой через них, поэтому он добавляет одну неизвестную, а не две. Затем используйте всю конструкцию для опорных реакций, если неизвестных не больше трёх. Наконец, разберите раму: нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах на двух соединяемых ими элементах, и запишите для него ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0. Моменты относительно шарнира исключают из уравнения обе составляющие силы в этом шарнире.

Опорная реакция в B

B_y = 2·0,8/3,2 = 0,5 kN

Сила в затяжке

T = 0,5·1,6/3 = 0,2667 kN

Сила в шарнире на BC

C_x = 0,2667 kN, C_y = −0,5 kN

C = √(0,2667² + 0,5²) = 0,5667 kN

Ответ

C = 0,5667 kN

9.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: V_x = 12 kN

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 6·8 = 48 kN, приложена в x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 6·8·4

R_B = 192/8 = 24 kN

ΣF_y = 0: R_A = 48 − 24 = 24 kN

Рассеките в x = 2 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

V = R_A − (все нагрузки вниз левее сечения)

V_x = 24 − 6·2 = 12 kN

Ответ

V_x = 12 kN

10.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 43,33 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN, приложена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 35·2 + 5·6·3

R_B = 160/6 = 26,67 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 26,67 = 38,33 kN

Рассеките в x = 4 m и оставьте левую часть

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 38,33·4 − 35·(4 − 2) − 5·4·2 = 43,33 kN·m

Ответ

M_x = 43,33 kN·m

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: r = 96,21 mm

Момент инерции сечения: для прямоугольника относительно его собственной центральной оси I = bh³/12, а относительно основания bh³/3 (теорема о параллельном переносе осей I = I_c + A·d²). Отверстие учитывают, вычитая его I, если обе части отнесены к одной и той же оси. Момент сопротивления сечения S = I/c, где c — расстояние до крайнего волокна. Радиус инерции r = √(I/A) — это расстояние, на котором вся площадь дала бы тот же I; он используется при расчёте колонн на устойчивость.

Площадь и момент инерции нетто

A = π(D² − d²)/4 = 6836 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 6,327 × 10⁷ mm⁴

Радиус инерции

r = √(I/A) = √(6,327 × 10⁷/6836) = 96,21 mm

Ответ

r = 96,21 mm

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 80,96 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбиваем на три прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

верхняя полка: A = 4180 mm², y = 203 mm

стенка: A = 2520 mm², y = 102 mm

нижняя полка: A = 3480 mm², y = 6 mm

Центр тяжести

ȳ = (4180·203 + 2520·102 + 3480·6)/10180 = 110,7 mm

Теорема о параллельном переносе осей

верхняя полка: 190·22³/12 + 4180·92,35² = 3,581 × 10⁷ mm⁴

стенка: 14·180³/12 + 2520·8,654² = 6,993 × 10⁶ mm⁴

нижняя полка: 290·12³/12 + 3480·104,7² = 3,816 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,581 × 10⁷ + 6,993 × 10⁶ + 3,816 × 10⁷

I_x = 8,096 × 10⁷ mm⁴ = 80,96 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 80,96 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics