Статика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Векторы: скалярное и векторное произведения

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Единичный вектор: û = a/|a|
Компоненты по углу: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярное произведение: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярная проекция a на b: a·b/|b|
Работа: W = F·d
Векторное произведение: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площади: параллелограмм |a × b|, треугольник ½|a × b|
Момент относительно O: M_O = r × F, r = A − O
Объём параллелепипеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Записывайте каждый вектор в компонентах; для силы, заданной модулем и углом, используйте F·cos θ и F·sin θ.
Для длин и направлений используйте модуль √(x² + y² + z²) и единичный вектор a/|a|.
Скалярное произведение применяйте для углов, проекций, перпендикулярности и работы: a·b = |a||b|cos θ.
Векторное произведение применяйте для перпендикулярных векторов, площадей и моментов: аккуратно записывайте три компоненты, сохраняя порядок a × b.

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Рамы и механизмы

Равновесие каждого элемента: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двухсиловой элемент: сила направлена вдоль прямой, проходящей через два его шарнира
Сила в шарнире: равны по модулю и противоположны по направлению на двух соединяемых ими элементах
Модуль силы в шарнире: F = √(F_x² + F_y²)
Рычаг, плоскогубцы, угловой рычаг: F_in·a = F_out·b
Коленно-рычажный механизм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки

Метод

Нарисуйте всю конструкцию и найдите опорные реакции, если неизвестных не больше трёх.
Найдите двухсиловые элементы: они нагружены только в двух шарнирах, поэтому их сила направлена вдоль прямой между шарнирами.
Разберите раму на части и нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах в местах соединения элементов.
Для каждого элемента возьмите моменты относительно шарнира с неизвестными силами, затем используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0; составляющие объедините в модуль в конце.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Тренировочные задачи

1.Векторы: скалярное и векторное произведенияСредняя

Постоянная сила F = (15, −15, 0) N действует на тело, которое движется по прямой из точки A(−1, 0, 0) в точку B(−1, −3, −2). Координаты даны в метрах. Найдите работу W этой силы.

F = (15, −15, 0) NA(−1, 0, 0) mB(−1, −3, −2) m

W = J

2.Векторы: скалярное и векторное произведенияСложная

Единичный вектор n̂ перпендикулярен обоим векторам a = (2, −4, 1) и b = (4, 0, −3) и имеет положительную z-компоненту. Найдите его x-компоненту n̂_x.

a = (2, −4, 1)b = (4, 0, −3)n̂_z > 0

n̂_x =

3.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Она нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии 4 m от A и сосредоточенным моментом M, направленным по часовой стрелке, на расстоянии 7 m от A. Найдите вертикальную реакцию R_A, считая положительным направление вверх.

L = 10 mP = 15 kN в 4 mM = 25 kN·m (по часовой стрелке) в 7 m

R_A = kN

4.Опорные реакции балокСложная

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_A.

L = 4 mP = 15 kN в 1 mw = 6 kN/m от 0 до 3 m

R_A = kN

5.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

B: 10 kN ↓D: 20 kN ↓H: 40 kN ↓

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент FC
13элемент HC

6.Ферма: метод вырезания узловСложная

B: 40 kN ↓D: 25 kN ↓F: 35 kN ↓F: 20 kN →

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент BG
13элемент DG

7.Рамы и механизмыСредняя

A-образная рама на рисунке стоит на шарнире в A и катке в B на расстоянии 3 m друг от друга. Ножки сходятся в шарнире C на высоте 3,6 m, а горизонтальная затяжка DE находится на 2 m над землёй. В точке C действует нагрузка 6 kN. Найдите модуль силы C, с которой шарнир C действует на ножку BC.

P = 6 kNAB = 3 mвысота C = 3,6 mвысота DE = 2 m

C = kN

8.Рамы и механизмыСложная

Рама на рисунке имеет шарниры в A, B и C; A и C закреплены на земле на расстоянии 3 m друг от друга, а B находится на высоте 4 m и на 1,8 m правее A. Элемент AB несёт вертикальную нагрузку 4 kN в точке K на расстоянии 1,08 m (по горизонтали) от A и горизонтальную нагрузку 2 kN, направленную вправо, в точке B. Найдите величину горизонтальной реакции A_x в A.

P = 4 kNQ = 2 kNL = 3 mH = 4 mгоризонтальное расстояние от A до B = 1,8 mгоризонтальное расстояние от A до K = 1,08 m

A_x = kN

9.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена сосредоточенным моментом M₀ = 35 kN·m, действующим по часовой стрелке, в точке x = 1 m от A; других нагрузок нет. Найдите изгибающий момент M_x сразу справа от сосредоточенного момента. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 4 mM₀ = 35 kN·m по часовой стрелке, в точке 1 m

M_x = kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 2 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 4 mP = 10 kN в 1 mw = 2 kN/m от 0 до 4 mx = 2 m

M_x = kN·m

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Найдите момент инерции I_x таврового сечения относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b_f = 200 mmt_f = 10 mmt_w = 14 mmh_w = 260 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Сварной двутавр имеет верхнюю полку 190 × 24 mm, стенку высотой 330 mm и толщиной 12 mm и нижнюю полку 270 × 14 mm (ширина × толщина). Найдите его момент инерции I_x относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

верхняя полка: 190 × 24 mmстенка: 12 × 330 mmнижняя полка: 270 × 14 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Растворы

1.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: W = 45 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Перемещение

d = B − A = (−1, −3, −2) − (−1, 0, 0) = (0, −3, −2) m

Работа

W = F·d = 15·0 + (−15)·(−3) + 0·(−2) = 45 J

Ответ

W = 45 J

2.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: n̂_x = 0,5367

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Векторное произведение

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−4)·(−3) − 1·0 = 12

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 1·4 − 2·(−3) = 10

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 2·0 − (−4)·4 = 16

Нормирование

z-компонента a × b уже положительна.

|a × b| = √(12² + 10² + 16²) = 22,36

n̂ = (12, 10, 16)/22,36 = (0,5367, 0,4472, 0,7155)

n̂_x = 0,5367

Ответ

n̂_x = 0,5367

3.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 6,5 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.

Моменты относительно A

Против часовой стрелки — положительно.

ΣM_A = 0: R_B·10 − 15·4 − 25 = 0

R_B = 85/10 = 8,5 kN

Равновесие по вертикали

R_A = 15 − 8,5 = 6,5 kN

Ответ

R_A = 6,5 kN

Отрицательная реакция направлена вниз.

4.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 22,5 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 6·3 = 18 kN, приложена в x̄ = 1,5 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 15·1 + 6·3·1,5

R_B = 42/4 = 10,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 33 − 10,5 = 22,5 kN

Ответ

R_A = 22,5 kN

5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел G

FG и GH лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 22,5 kN (T), BC: 22,5 kN (T), CD: 47,5 kN (T), DE: 47,5 kN (T), FG: 35 kN (C), GH: 35 kN (C), AF: 31,82 kN (C), HE: 67,18 kN (C), BF: 10 kN (T), CG: 0, DH: 20 kN (T), FC: 17,68 kN (T), HC: 17,68 kN (C)

Ответ

Нулевой элемент: CG

6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Узел C

BC и CD лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 98,33 kN (T), BC: 76,67 kN (T), CD: 76,67 kN (T), DE: 55 kN (T), FG: 98,33 kN (C), GH: 55 kN (C), AF: 97,92 kN (C), HE: 68,75 kN (C), BF: 23,75 kN (T), CG: 0, DH: 41,25 kN (T), BG: 27,08 kN (T), DG: 27,08 kN (C)

Ответ

Нулевой элемент: CG

7.Рамы и механизмы

Ответ: C = 4,112 kN

Рамы и механизмы: в отличие от фермы, рама содержит хотя бы один элемент, который воспринимает силы более чем в двух точках или нагрузку между шарнирами. Сначала найдите двухсиловые элементы: у элемента, нагруженного только в двух шарнирах, сила направлена вдоль прямой через них, поэтому он добавляет одну неизвестную, а не две. Затем используйте всю конструкцию для опорных реакций, если неизвестных не больше трёх. Наконец, разберите раму: нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах на двух соединяемых ими элементах, и запишите для него ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0. Моменты относительно шарнира исключают из уравнения обе составляющие силы в этом шарнире.

Сила в затяжке из ножки BC

B_y = 3 kN

T = 3·1,5/1,6 = 2,813 kN

Составляющие силы в шарнире на BC

C_x = T = 2,813 kN, C_y = −B_y = −3 kN

Модуль

C = √(2,813² + 3²) = 4,112 kN

Ответ

C = 4,112 kN

8.Рамы и механизмы

Ответ: A_x = 0,768 kN

Направление BC

BC = 4,176 m, cos = 0,2873, sin = 0,9578

Вся рама: моменты относительно A

F_BC·0,9578·3 = 4·1,08 + 2·4

F_BC = 4,287 kN

Горизонтальный баланс

A_x + 2 − 4,287·0,2873 = 0

A_x = −0,768 kN → |A_x| = 0,768 kN

Ответ

A_x = 0,768 kN

Знак минус означает, что A_x направлена влево.

9.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 26,25 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Приложенный сосредоточенный момент вызывает на эпюре изгибающих моментов скачок, равный его величине.

Опорные реакции

Моменты относительно A, против часовой стрелки положительны: R_B·L − M₀ = 0. Равновесие по вертикали: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 35/4 = 8,75 kN (вверх)

R_A = −R_B = −8,75 kN (вниз)

Сечение сразу справа от сосредоточенного момента

Теперь левая часть содержит R_A и сосредоточенный момент.

M_x = R_A·a + M₀ = −8,75·1 + 35 = 26,25 kN·m

Ответ

M_x = 26,25 kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 9 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 2·4 = 8 kN, приложена в x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 10·1 + 2·4·2

R_B = 26/4 = 6,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 18 − 6,5 = 11,5 kN

Рассеките в x = 2 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 11,5·2 − 10·(2 − 1) − 2·2·1 = 9 kN·m

Ответ

M_x = 9 kN·m

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 44,05 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 200·10 = 2000 mm², y_f = 260 + 10/2 = 265 mm

стенка: A_w = 14·260 = 3640 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2000·265 + 3640·130)/5640 = 177,9 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 200·10³/12 + 2000·(265 − 177,9)² = 1,52 × 10⁷ mm⁴

стенка: 14·260³/12 + 3640·(130 − 177,9)² = 2,885 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,52 × 10⁷ + 2,885 × 10⁷ = 4,405 × 10⁷ mm⁴ = 44,05 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 44,05 × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 288,9 × 10⁶ mm⁴

Разбиваем на три прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

верхняя полка: A = 4560 mm², y = 356 mm

стенка: A = 3960 mm², y = 179 mm

нижняя полка: A = 3780 mm², y = 7 mm

Центр тяжести

ȳ = (4560·356 + 3960·179 + 3780·7)/12300 = 191,8 mm

Теорема о параллельном переносе осей

верхняя полка: 190·24³/12 + 4560·164,2² = 1,232 × 10⁸ mm⁴

стенка: 12·330³/12 + 3960·12,76² = 3,658 × 10⁷ mm⁴

нижняя полка: 270·14³/12 + 3780·184,8² = 1,291 × 10⁸ mm⁴

I_x = 1,232 × 10⁸ + 3,658 × 10⁷ + 1,291 × 10⁸

I_x = 2,889 × 10⁸ mm⁴ = 288,9 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 288,9 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics