Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣFx = 0 и ΣFy = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.
Рамы и механизмы
Равновесие каждого элемента
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Двухсиловой элемент
сила направлена вдоль прямой, проходящей через два его шарнира
Сила в шарнире
равны по модулю и противоположны по направлению на двух соединяемых ими элементах
Модуль силы в шарнире
F = √(Fx² + Fy²)
Рычаг, плоскогубцы, угловой рычаг
Fin·a = Fout·b
Коленно-рычажный механизм
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Равномерная нагрузка
равнодействующая w·L в середине нагрузки
Метод
Нарисуйте всю конструкцию и найдите опорные реакции, если неизвестных не больше трёх.
Найдите двухсиловые элементы: они нагружены только в двух шарнирах, поэтому их сила направлена вдоль прямой между шарнирами.
Разберите раму на части и нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах в местах соединения элементов.
Для каждого элемента возьмите моменты относительно шарнира с неизвестными силами, затем используйте ΣFx = 0 и ΣFy = 0; составляющие объедините в модуль в конце.
Поперечная сила и изгибающий момент
Поперечная сила и момент
V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба
σ = M·y/I
Прямоугольник
I = bh³/12
Момент сопротивления сечения
W = I/ymax
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка
Mmax = wL²/8
Метод
Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.
Центр тяжести и момент инерции
Центр тяжести
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Прямоугольник
I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей
I = Ic + A·d²
Составное сечение
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Тренировочные задачи
1.Векторы: скалярное и векторное произведенияСредняя
Найдите скалярное произведение a·b векторов a = (−4, 4, −1) и b = (−3, −7, −7).
a = (−4, 4, −1)b = (−3, −7, −7)
a·b =
2.Векторы: скалярное и векторное произведенияСложная
Сила F = (−50, −40, 30) N действует в точке A(−3, 0, 1). Координаты даны в метрах. Найдите y-компоненту My момента силы относительно точка O(−2, 2, −1).
F = (−50, −40, 30) NA(−3, 0, 1) mO(−2, 2, −1) m
My = N·m
3.Опорные реакции балокСредняя
Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию RA.
L = 4 mP1 = 45 kN в 1 mP2 = 55 kN в 1,5 m
RA = kN
4.Опорные реакции балокСложная
Балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную опору в B на расстоянии 6 m от A и консольный свес за B до свободного конца C. Она нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии 1 m от A и равномерно распределённой нагрузкой w от 4 m до свободного конца в точке 10 m. Найдите вертикальную реакцию RB, считая положительным направление вверх.
AB = 6 mAC = 10 mP = 70 kN в 1 mw = 10 kN/m от 4 до 10 m
RB = kN
5.Ферма: метод вырезания узловСредняя
Методом вырезания узлов найдите усилие FAC в стержне AC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.
пролёт = 8 mвысота = 3 mB на расстоянии 2 m от Aвертикальная нагрузка = 55 kN
FAC = kN
6.Ферма: метод вырезания узловСложная
Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.
D: 30 kN ↓G: 30 kN ↓H: 20 kN ↓H: 20 kN ←
1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент FC
13элемент HC
7.Рамы и механизмыСредняя
Горизонтальная балка AB закреплена шарниром на стене в A и подпёрта стойкой CD, закреплённой шарниром на стене в C, на 0,75 m ниже A. В точке B подвешена нагрузка 8 kN. Весом пренебрегите. Найдите модуль силы A в шарнире, действующей на балку в A.
P = 8 kNAD = 1 mAB = 2,5 mAC = 0,75 m
A = kN
8.Рамы и механизмыСложная
Однородная горизонтальная стрела AB весом 1 kN закреплена шарниром на стене в A и удерживается тросом от B до точки C на стене на 3 m выше A. В точке B подвешена нагрузка 12 kN. Найдите модуль реакции A в шарнире.
W = 12 kNWb = 1 kNAB = 2 mAC = 3 m
A = kN
9.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя
Балка опирается на неподвижный шарнир в A и подвижную опору в B и имеет консольный свес длиной 1,5 m за B до свободного конца C. Она нагружена сосредоточенной силой P1 между опорами и сосредоточенной силой P2 в C. Найдите поперечную силу Vx сразу слева от опоры B. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.
L = 9,5 mP1 = 40 kN в 5 mP2 = 55 kN в 9,5 mопоры при x = 0 и x = 8 m
Vx = kN
10.Поперечная сила и изгибающий моментСложная
Найдите изгибающий момент Mx в сечении x = 3 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.
L = 4 mP = 20 kN в 3 mw = 5 kN/m от 0 до 4 mx = 3 m
Mx = kN·m
11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя
Найдите момент инерции Ix таврового сечения относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.
bf = 120 mmtf = 10 mmtw = 14 mmhw = 180 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Центр тяжести и момент инерцииСложная
Пластина 150 mm × 240 mm имеет прямоугольный вырез шириной 50 mm и высотой 50 mm, расположенный на вертикальной оси симметрии, а его центр находится на высоте 156 mm над низом. Найдите момент инерции сечения Ix относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.
b = 150 mmh = 240 mmвырез: 50 × 50 mmцентр отверстия: y = 156 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
3Растворы
1.Векторы: скалярное и векторное произведения
Ответ: a·b = −9
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Радиус-вектор из O в A
r = A − O = (−3, 0, 1) − (−2, 2, −1) = (−1, −2, 2) m
Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.
Расчётная схема
Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.
Равновесие
Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.
ΣMA = 0: RB·4 = 45·1 + 55·1,5
RB = 127,5/4 = 31,88 kN
ΣFy = 0: RA = 100 − 31,88 = 68,13 kN
Ответ
RA = 68,13 kN
4.Опорные реакции балок
Ответ: RB = 81,67 kN
Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.
Равнодействующая распределённой нагрузки
W = 10·6 = 60 kN, x̄ = (4 + 10)/2 = 7 m
Равновесие
Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.
ΣMA = 0: RB·6 = 70·1 + 60·7
RB = 490/6 = 81,67 kN
RA = 130 − 81,67 = 48,33 kN
Ответ
RB = 81,67 kN
5.Ферма: метод вырезания узлов
Ответ: FAC = 27,5 kN
Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣFx = 0 и ΣFy = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.
Опорные реакции
Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.
ΣMA = 0: Cy·8 = 55·2 → Cy = 13,75 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − 13,75 = 41,25 kN
Узел C
Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.
sin γ = 3/6,708 = 0,4472, cos γ = 6/6,708 = 0,8944
Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.
Узел B
AB и BC лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только BF.
ΣF⊥ = 0 → FBF = 0
Проверка методом вырезания узлов
Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).
Рамы и механизмы: в отличие от фермы, рама содержит хотя бы один элемент, который воспринимает силы более чем в двух точках или нагрузку между шарнирами. Сначала найдите двухсиловые элементы: у элемента, нагруженного только в двух шарнирах, сила направлена вдоль прямой через них, поэтому он добавляет одну неизвестную, а не две. Затем используйте всю конструкцию для опорных реакций, если неизвестных не больше трёх. Наконец, разберите раму: нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах на двух соединяемых ими элементах, и запишите для него ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0. Моменты относительно шарнира исключают из уравнения обе составляющие силы в этом шарнире.
Сила в стойке
FCD = 8·2,5/(0,6·1) = 33,33 kN
Составляющие в A
Ax = FCD·cos α = 26,67 kN (к стене)
Ay = 8 − FCD·sin α = −12 kN
Модуль
A = √(26,67² + −12²) = 29,24 kN
Ответ
A = 29,24 kN
Отрицательное Ay означает, что стена тянет балку вниз в точке A.
8.Рамы и механизмы
Ответ: A = 8,348 kN
Рамы и механизмы: в отличие от фермы, рама содержит хотя бы один элемент, который воспринимает силы более чем в двух точках или нагрузку между шарнирами. Сначала найдите двухсиловые элементы: у элемента, нагруженного только в двух шарнирах, сила направлена вдоль прямой через них, поэтому он добавляет одну неизвестную, а не две. Затем используйте всю конструкцию для опорных реакций, если неизвестных не больше трёх. Наконец, разберите раму: нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах на двух соединяемых ими элементах, и запишите для него ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0. Моменты относительно шарнира исключают из уравнения обе составляющие силы в этом шарнире.
Натяжение троса
T = (12 + 1/2)/0,8321 = 15,02 kN
Составляющие в A
Ax = T·cos β = 8,333 kN
Ay = 12 + 1 − T·sin β = 0,5 kN
Модуль
A = √(8,333² + 0,5²) = 8,348 kN
Ответ
A = 8,348 kN
9.Поперечная сила и изгибающий момент
Ответ: Vx = −35,31 kN
Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.
Опорные реакции
Равновесие всей балки. Сила на консольном свесе тоже создаёт момент относительно A.
ΣMA = 0: RB·8 = 40·5 + 55·9,5
RB = 722,5/8 = 90,31 kN
ΣFy = 0: RA = 95 − 90,31 = 4,688 kN
Сечение сразу слева от B, оставляем левую часть
Vx = RA − P1 = 4,688 − 40 = −35,31 kN
Ответ
Vx = −35,31 kN
10.Поперечная сила и изгибающий момент
Ответ: Mx = 22,5 kN·m
Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.
Опорные реакции
Равновесие всей балки.
Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 5·4 = 20 kN, приложена в x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 20·3 + 5·4·2
RB = 100/4 = 25 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 25 = 15 kN
Рассеките в x = 3 m и оставьте левую часть
Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.
M = RA·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)
Mx = 15·3 − 5·3·1,5 = 22,5 kN·m
Ответ
Mx = 22,5 kN·m
11.Центр тяжести и момент инерции
Ответ: Ix = 14,15 × 10⁶ mm⁴
Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.
Разбейте на два прямоугольника
Отсчитывайте каждое y от нижнего края.
полка: Af = 120·10 = 1200 mm², yf = 180 + 10/2 = 185 mm
стенка: Aw = 14·180 = 2520 mm², yw = 180/2 = 90 mm
Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника Ic = bh³/12, для круга Ic = πd⁴/64.
Центр тяжести
ȳ = (36000·120 − 2500·156)/(36000 − 2500) = 117,3 mm