Статика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Векторы: скалярное и векторное произведения

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Единичный вектор: û = a/|a|
Компоненты по углу: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярное произведение: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярная проекция a на b: a·b/|b|
Работа: W = F·d
Векторное произведение: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площади: параллелограмм |a × b|, треугольник ½|a × b|
Момент относительно O: M_O = r × F, r = A − O
Объём параллелепипеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Записывайте каждый вектор в компонентах; для силы, заданной модулем и углом, используйте F·cos θ и F·sin θ.
Для длин и направлений используйте модуль √(x² + y² + z²) и единичный вектор a/|a|.
Скалярное произведение применяйте для углов, проекций, перпендикулярности и работы: a·b = |a||b|cos θ.
Векторное произведение применяйте для перпендикулярных векторов, площадей и моментов: аккуратно записывайте три компоненты, сохраняя порядок a × b.

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Рамы и механизмы

Равновесие каждого элемента: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двухсиловой элемент: сила направлена вдоль прямой, проходящей через два его шарнира
Сила в шарнире: равны по модулю и противоположны по направлению на двух соединяемых ими элементах
Модуль силы в шарнире: F = √(F_x² + F_y²)
Рычаг, плоскогубцы, угловой рычаг: F_in·a = F_out·b
Коленно-рычажный механизм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки

Метод

Нарисуйте всю конструкцию и найдите опорные реакции, если неизвестных не больше трёх.
Найдите двухсиловые элементы: они нагружены только в двух шарнирах, поэтому их сила направлена вдоль прямой между шарнирами.
Разберите раму на части и нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах в местах соединения элементов.
Для каждого элемента возьмите моменты относительно шарнира с неизвестными силами, затем используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0; составляющие объедините в модуль в конце.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Тренировочные задачи

1.Векторы: скалярное и векторное произведенияСредняя

Найдите скалярное произведение a·b векторов a = (−1, 2, 7) и b = (1, −7, 6).

a = (−1, 2, 7)b = (1, −7, 6)

a·b =

2.Векторы: скалярное и векторное произведенияСложная

Найдите площадь A параллелограмма, построенного на a = (5, 1, 3) и b = (−2, −6, 3).

a = (5, 1, 3)b = (−2, −6, 3)

A =

3.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_A.

L = 6 mP₁ = 60 kN в 3 mP₂ = 25 kN в 4 m

R_A = kN

4.Опорные реакции балокСложная

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_B.

L = 4 mP = 40 kN в 2,5 mw = 4 kN/m от 2 до 4 m

R_B = kN

5.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Методом вырезания узлов найдите усилие F_AB в стержне AB. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 4 mвысота = 3 mB на расстоянии 3 m от Aвертикальная нагрузка = 50 kN

F_AB = kN

6.Ферма: метод вырезания узловСложная

пролёт = 8 mвысота = 4 mB на расстоянии 5 m от Aвертикальная нагрузка = 40 kNгоризонтальная нагрузка = 25 kN ←

F_AB = kN

7.Рамы и механизмыСредняя

В показанном коленно-рычажном зажиме два равных звена AB и BC соединены шарниром в B, и каждое составляет угол 15° с прямой AC. В точке B приложена направленная вниз сила 200 N. Ползун C прижимает заготовку. Пренебрегая трением и весом, найдите горизонтальную зажимную силу Q.

F = 200 Nθ = 15°

Q = N

8.Рамы и механизмыСложная

Коленно-рычажный пресс имеет два равных звена AB и BC длиной 120 mm между шарнирами каждое. Шарнир B находится на 30 mm выше прямой AC. Какая направленная вниз сила F в точке B создаёт горизонтальную силу прессования 5000 N на ползуне C? Трением и весом пренебрегите.

Q = 5000 NAB = BC = 120 mmh = 30 mm

F = N

9.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Найдите поперечную силу V_x в сечении x = 7,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 8 mw = 8 kN/m от 0 до 8 mx = 7,5 m

V_x = kN

10.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 2 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 8 mP = 10 kN в 2 mw = 6 kN/m от 0 до 8 mx = 2 m

M_x = kN·m

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Пластина 150 mm × 150 mm имеет круглое отверстие диаметром 50 mm на вертикальной оси симметрии, центр которого находится на высоте 97,5 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 150 mmh = 150 mmd = 50 mmцентр отверстия: y = 97,5 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 25 kN·m. Найдите величину напряжения изгиба σ_верх на верхнем крае.

b_f = 280 mmt_f = 15 mmt_w = 10 mmh_w = 260 mmM = 25 kN·m

σ_верх = MPa

3Растворы

1.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: a·b = 27

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Перемножьте соответствующие компоненты и сложите

a·b = (−1)·1 + 2·(−7) + 7·6 = (−1) + (−14) + 42 = 27

Ответ

a·b = 27

Положительное: угол между векторами меньше 90°.

2.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: A = 40,82

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Векторное произведение

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 1·3 − 3·(−6) = 21

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 3·(−2) − 5·3 = −21

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 5·(−6) − 1·(−2) = −28

Площадь

A = |a × b| = √(21² + (−21)² + (−28)²) = 40,82

Ответ

A = 40,82

3.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 38,33 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 60·3 + 25·4

R_B = 280/6 = 46,67 kN

ΣF_y = 0: R_A = 85 − 46,67 = 38,33 kN

Ответ

R_A = 38,33 kN

4.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = 31 kN

Расчётная схема

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 4·2 = 8 kN, приложена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 40·2,5 + 4·2·3

R_B = 124/4 = 31 kN

ΣF_y = 0: R_A = 48 − 31 = 17 kN

Ответ

R_B = 31 kN

5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AB = −17,68 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 50·3 → C_y = 37,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 37,5 = 12,5 kN

Узел A

Предположите, что каждый стержень растянут (тянет от узла). Только AB имеет вертикальную составляющую в узле A.

sin α = 3/4,243 = 0,7071

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −12,5/0,7071 = −17,68 kN

Ответ

F_AB = −17,68 kN (сжатие)

6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AB = −44,02 kN

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 40·5 − 25·4 → C_y = 12,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 12,5 = 27,5 kN

ΣF_x = 0: A_x = 25 kN

Узел A

Предположите, что каждый стержень растянут (тянет от узла). Только AB имеет вертикальную составляющую в узле A.

sin α = 4/6,403 = 0,6247

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −27,5/0,6247 = −44,02 kN

Ответ

F_AB = −44,02 kN (сжатие)

7.Рамы и механизмы

Ответ: Q = 373,2 N

Механизмы: плоскогубцы, рычаги, шарнирные системы и зажимы преобразуют входную силу в большую или иначе направленную выходную. Нарисуйте одну часть как свободное тело и возьмите моменты относительно её оси: сила в шарнире выпадает, а F_in·a = F_out·b даёт выигрыш в силе a/b. Сила в шарнире затем следует из ΣF = 0 для той же части. В коленно-рычажном механизме два звена сходятся под малым углом θ; каждое звено — двухсиловой элемент, поэтому малая сила F в узле создаёт большие силы в звеньях F/(2 sin θ) и зажимную силу F/(2 tan θ).

Равновесие шарнира B

2·F_link·sin 15° = 200

F_link = 386,4 N

Зажимная сила

Q = F_link·cos 15° = 200/(2·tan 15°) = 373,2 N

Ответ

Q = 373,2 N

Отношение сил Q/F = 1,866 неограниченно растёт по мере выпрямления звеньев.

8.Рамы и механизмы

Ответ: F = 2582 N

Угол звена

sin θ = 30/120 = 0,25, θ = 14,48°

Сила в звене

F_link = Q/cos θ = 5164 N

Сила в B

F = 2·F_link·sin θ = 2·5000·tan θ = 2582 N

Ответ

F = 2582 N

9.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: V_x = −28 kN

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 8·8 = 64 kN, приложена в x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 8·8·4

R_B = 256/8 = 32 kN

ΣF_y = 0: R_A = 64 − 32 = 32 kN

Рассеките в x = 7,5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

V = R_A − (все нагрузки вниз левее сечения)

V_x = 32 − 8·7,5 = −28 kN

Ответ

V_x = −28 kN

10.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 51 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 6·8 = 48 kN, приложена в x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 10·2 + 6·8·4

R_B = 212/8 = 26,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 58 − 26,5 = 31,5 kN

Рассеките в x = 2 m и оставьте левую часть

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 31,5·2 − 6·2·1 = 51 kN·m

Ответ

M_x = 51 kN·m

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 40,79 × 10⁶ mm⁴

Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника I_c = bh³/12, для круга I_c = πd⁴/64.

Центр тяжести

ȳ = (22500·75 − 1963·97,5)/(22500 − 1963) = 72,85 mm

Целая пластина относительно ȳ

150·150³/12 + 22500·2,151² = 42,29 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

π·50⁴/64 + 1963·24,65² = 1,5 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 40,79 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 40,79 × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_верх = 33,31 MPa

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 280·15 = 4200 mm², y_f = 260 + 15/2 = 267,5 mm

стенка: A_w = 10·260 = 2600 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4200·267,5 + 2600·130)/6800 = 214,9 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 280·15³/12 + 4200·(267,5 − 214,9)² = 1,169 × 10⁷ mm⁴

стенка: 10·260³/12 + 2600·(130 − 214,9)² = 3,34 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,169 × 10⁷ + 3,34 × 10⁷ = 4,509 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

Верхний край на расстоянии h − ȳ от оси.

y = 275 − 214,9 = 60,07 mm

σ = M·y/I = 2,5 × 10⁷·60,07/4,509 × 10⁷ = 33,31 MPa

Ответ

σ_верх = 33,31 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics