Статика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Векторы: скалярное и векторное произведения

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Единичный вектор: û = a/|a|
Компоненты по углу: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярное произведение: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярная проекция a на b: a·b/|b|
Работа: W = F·d
Векторное произведение: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площади: параллелограмм |a × b|, треугольник ½|a × b|
Момент относительно O: M_O = r × F, r = A − O
Объём параллелепипеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Записывайте каждый вектор в компонентах; для силы, заданной модулем и углом, используйте F·cos θ и F·sin θ.
Для длин и направлений используйте модуль √(x² + y² + z²) и единичный вектор a/|a|.
Скалярное произведение применяйте для углов, проекций, перпендикулярности и работы: a·b = |a||b|cos θ.
Векторное произведение применяйте для перпендикулярных векторов, площадей и моментов: аккуратно записывайте три компоненты, сохраняя порядок a × b.

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Рамы и механизмы

Равновесие каждого элемента: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двухсиловой элемент: сила направлена вдоль прямой, проходящей через два его шарнира
Сила в шарнире: равны по модулю и противоположны по направлению на двух соединяемых ими элементах
Модуль силы в шарнире: F = √(F_x² + F_y²)
Рычаг, плоскогубцы, угловой рычаг: F_in·a = F_out·b
Коленно-рычажный механизм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки

Метод

Нарисуйте всю конструкцию и найдите опорные реакции, если неизвестных не больше трёх.
Найдите двухсиловые элементы: они нагружены только в двух шарнирах, поэтому их сила направлена вдоль прямой между шарнирами.
Разберите раму на части и нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах в местах соединения элементов.
Для каждого элемента возьмите моменты относительно шарнира с неизвестными силами, затем используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0; составляющие объедините в модуль в конце.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Тренировочные задачи

1.Векторы: скалярное и векторное произведенияСредняя

Найдите скалярное произведение a·b векторов a = (0, 5, −3) и b = (−2, 5, −5).

a = (0, 5, −3)b = (−2, 5, −5)

a·b =

2.Векторы: скалярное и векторное произведенияСложная

Найдите площадь A треугольника с вершинами A(0, 1, −2), B(3, −1, 1) и C(3, 2, −1). Координаты даны в метрах.

A(0, 1, −2)B(3, −1, 1)C(3, 2, −1)

A = m²

3.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Она нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии 4 m от A и сосредоточенным моментом M, направленным против часовой стрелки, на расстоянии 2 m от A. Найдите вертикальную реакцию R_B, считая положительным направление вверх.

L = 8 mP = 20 kN в 4 mM = 15 kN·m (против часовой стрелки) в 2 m

R_B = kN

4.Опорные реакции балокСложная

Составная балка защемлена в стене в точке A, имеет промежуточный шарнир в C (на расстоянии 6 m от A) и опирается на подвижную опору в D (на расстоянии 10 m от A). Она нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии 8 m от A. Найдите величину реактивного момента M_A в заделке.

AC = 6 mAD = 10 mP = 75 kN в 8 m

M_A = kN·m

5.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

B: 25 kN ↓G: 25 kN ↓H: 20 kN ↓

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент FC
13элемент HC

6.Ферма: метод вырезания узловСложная

C: 25 kN ↓D: 40 kN ↓F: 15 kN ↓G: 10 kN ↓H: 20 kN ↓H: 35 kN ←

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент FC
13элемент HC

7.Рамы и механизмыСредняя

Горизонтальная балка AB закреплена шарниром на стене в A и подпёрта стойкой CD, закреплённой шарниром на стене в C, на 1,2 m ниже A. В точке B подвешена нагрузка 12 kN. Весом пренебрегите. Найдите модуль силы A в шарнире, действующей на балку в A.

P = 12 kNAD = 0,8 mAB = 2,4 mAC = 1,2 m

A = kN

8.Рамы и механизмыСложная

A-образная рама на рисунке стоит на шарнире в A и катке в B на расстоянии 6 m друг от друга. Ножки сходятся в шарнире C на высоте 2,5 m и стянуты горизонтальной перемычкой DE на высоте 0,8 m. В точке C действует горизонтальная сила 2 kN, направленная вправо. Найдите натяжение T в затяжке.

P = 2 kNAB = 6 mвысота C = 2,5 mвысота DE = 0,8 m

T = kN

9.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена двумя сосредоточенными силами. Найдите наибольший изгибающий момент M_max в балке.

L = 4 mP₁ = 10 kN в 1 mP₂ = 50 kN в 1,5 m

M_max = kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 1,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 8 mP = 25 kN в 5 mw = 4 kN/m от 0 до 8 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Найдите момент инерции I_x таврового сечения относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b_f = 240 mmt_f = 25 mmt_w = 8 mmh_w = 160 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Симметричный двутавр имеет полки шириной 220 mm и толщиной 16 mm, полную высоту 480 mm и стенку толщиной 10 mm. Оно воспринимает изгибающий момент 50 kN·m относительно оси x. Найдите величину нормального напряжения при изгибе σ_j в месте сопряжения стенки с верхней полкой.

B = 220 mmH = 480 mmt_f = 16 mmt_w = 10 mmM = 50 kN·m

σ_j = MPa

3Растворы

1.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: a·b = 40

Скалярное произведение: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ — скаляр. Оно позволяет найти угол между двумя векторами, cos θ = a·b/(|a|·|b|), и равно нулю, когда векторы перпендикулярны. Скалярная проекция a на b равна a·b/|b|, а постоянная сила F, перемещающая тело на d, совершает работу W = F·d.

Перемножьте соответствующие компоненты и сложите

a·b = 0·(−2) + 5·5 + (−3)·(−5) = 0 + 25 + 15 = 40

Ответ

a·b = 40

Положительное: угол между векторами меньше 90°.

2.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: A = 5,958 m²

Векторное произведение: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) перпендикулярно обоим векторам, а |a × b| = |a|·|b|·sin θ — площадь параллелограмма, построенного на них (площадь треугольника вдвое меньше). Порядок важен: b × a = −(a × b). Момент силы F, приложенной в точке A, относительно точки O равен M_O = r × F, где r = A − O.

Векторы сторон

AB = B − A = (3, −2, 3)

AC = C − A = (3, 1, 1)

Векторное произведение

(AB × AC)_x = AB_yAC_z − AB_zAC_y = (−2)·1 − 3·1 = −5

(AB × AC)_y = AB_zAC_x − AB_xAC_z = 3·3 − 3·1 = 6

(AB × AC)_z = AB_xAC_y − AB_yAC_x = 3·1 − (−2)·3 = 9

|AB × AC| = √((−5)² + 6² + 9²) = 11,92

Площадь треугольника

A = ½·11,92 = 5,958 m²

Ответ

A = 5,958 m²

3.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = 8,125 kN

Моменты относительно A

Против часовой стрелки — положительно.

ΣM_A = 0: R_B·8 − 20·4 + 15 = 0

R_B = 65/8 = 8,125 kN

Равновесие по вертикали

R_A = 20 − 8,125 = 11,88 kN

Ответ

R_B = 8,125 kN

Отрицательная реакция направлена вниз.

4.Опорные реакции балок

Ответ: M_A = 225 kN·m

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию. Промежуточный шарнир не может передавать изгибающий момент, что даёт одно дополнительное уравнение: момент относительно шарнира сил, действующих с любой его стороны, равен нулю.

Часть CD

В шарнире момента нет, поэтому моменты относительно C для одной только части CD должны уравновешиваться.

ΣM_C = 0: R_D·4 = 75·2

R_D = 37,5 kN

V_C = 75 − 37,5 = 37,5 kN

Часть AC

Сила в шарнире V_C действует на AC вниз (равна по величине и противоположна её действию на CD).

R_A = 37,5 = 37,5 kN

M_A = 37,5·6 = 225 kN·m

Ответ

M_A = 225 kN·m

5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент DH

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел D

CD и DE лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только DH.

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 48,33 kN (T), BC: 48,33 kN (T), CD: 45 kN (T), DE: 45 kN (T), FG: 63,33 kN (C), GH: 63,33 kN (C), AF: 60,42 kN (C), HE: 56,25 kN (C), BF: 25 kN (T), CG: 25 kN (C), DH: 0, FC: 18,75 kN (T), HC: 22,92 kN (T)

Ответ

Нулевой элемент: DH

6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент BF

Узел B

AB и BC лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только BF.

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 6,562 kN (T), BC: 6,562 kN (T), CD: 40,94 kN (T), DE: 40,94 kN (T), FG: 71,88 kN (C), GH: 71,88 kN (C), AF: 69,27 kN (C), HE: 68,23 kN (C), BF: 0, CG: 10 kN (C), DH: 40 kN (T), FC: 50,52 kN (T), HC: 6,771 kN (C)

Ответ

Нулевой элемент: BF

7.Рамы и механизмы

Ответ: A = 33,94 kN

Рамы и механизмы: в отличие от фермы, рама содержит хотя бы один элемент, который воспринимает силы более чем в двух точках или нагрузку между шарнирами. Сначала найдите двухсиловые элементы: у элемента, нагруженного только в двух шарнирах, сила направлена вдоль прямой через них, поэтому он добавляет одну неизвестную, а не две. Затем используйте всю конструкцию для опорных реакций, если неизвестных не больше трёх. Наконец, разберите раму: нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах на двух соединяемых ими элементах, и запишите для него ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0. Моменты относительно шарнира исключают из уравнения обе составляющие силы в этом шарнире.

Сила в стойке

F_CD = 12·2,4/(0,8321·0,8) = 43,27 kN

Составляющие в A

A_x = F_CD·cos α = 24 kN (к стене)

A_y = 12 − F_CD·sin α = −24 kN

Модуль

A = √(24² + −24²) = 33,94 kN

Ответ

A = 33,94 kN

Отрицательное A_y означает, что стена тянет балку вниз в точке A.

8.Рамы и механизмы

Ответ: T = 1,471 kN

Вся рама: моменты относительно A

B_y·6 = 2·2,5

B_y = 0,8333 kN

Ножка BC: моменты относительно C

0,8333·3 = T·1,7

T = 1,471 kN

Ответ

T = 1,471 kN

Положительное T означает, что затяжка растянута, как и предполагалось.

9.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_max = 53,13 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 10·1 + 50·1,5

R_B = 85/4 = 21,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 21,25 = 38,75 kN

Момент под каждой силой

Оставляйте часть слева от каждой силы.

под P₁: M = R_A·1 = 38,75·1 = 38,75 kN·m

под P₂: M = R_B·2,5 = 21,25·2,5 = 53,13 kN·m

Наибольшее значение

M_max = 53,13 kN·m (под P₂)

Ответ

M_max = 53,13 kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 33,56 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 4·8 = 32 kN, приложена в x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 25·5 + 4·8·4

R_B = 253/8 = 31,63 kN

ΣF_y = 0: R_A = 57 − 31,63 = 25,38 kN

Рассеките в x = 1,5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 25,38·1,5 − 4·1,5·0,75 = 33,56 kN·m

Ответ

M_x = 33,56 kN·m

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 12,07 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 240·25 = 6000 mm², y_f = 160 + 25/2 = 172,5 mm

стенка: A_w = 8·160 = 1280 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6000·172,5 + 1280·80)/7280 = 156,2 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 240·25³/12 + 6000·(172,5 − 156,2)² = 1,9 × 10⁶ mm⁴

стенка: 8·160³/12 + 1280·(80 − 156,2)² = 1,017 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,9 × 10⁶ + 1,017 × 10⁷ = 1,207 × 10⁷ mm⁴ = 12,07 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 12,07 × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_j = 24,67 MPa

Наружный прямоугольник минус два боковых выреза

Оба выреза вместе имеют ширину (B − t_w) и высоту h_w = H − 2t_f и отнесены к оси x.

h_w = 480 − 2·16 = 448 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (220·480³ − 210·448³)/12

I_x = 4,54 × 10⁸ mm⁴

Напряжение изгиба

y = 240 − 16 = 224 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·224/4,54 × 10⁸ = 24,67 MPa

Ответ

σ_j = 24,67 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics