Статика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Векторы: скалярное и векторное произведения

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Единичный вектор: û = a/|a|
Компоненты по углу: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярное произведение: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярная проекция a на b: a·b/|b|
Работа: W = F·d
Векторное произведение: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площади: параллелограмм |a × b|, треугольник ½|a × b|
Момент относительно O: M_O = r × F, r = A − O
Объём параллелепипеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Записывайте каждый вектор в компонентах; для силы, заданной модулем и углом, используйте F·cos θ и F·sin θ.
Для длин и направлений используйте модуль √(x² + y² + z²) и единичный вектор a/|a|.
Скалярное произведение применяйте для углов, проекций, перпендикулярности и работы: a·b = |a||b|cos θ.
Векторное произведение применяйте для перпендикулярных векторов, площадей и моментов: аккуратно записывайте три компоненты, сохраняя порядок a × b.

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Рамы и механизмы

Равновесие каждого элемента: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двухсиловой элемент: сила направлена вдоль прямой, проходящей через два его шарнира
Сила в шарнире: равны по модулю и противоположны по направлению на двух соединяемых ими элементах
Модуль силы в шарнире: F = √(F_x² + F_y²)
Рычаг, плоскогубцы, угловой рычаг: F_in·a = F_out·b
Коленно-рычажный механизм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки

Метод

Нарисуйте всю конструкцию и найдите опорные реакции, если неизвестных не больше трёх.
Найдите двухсиловые элементы: они нагружены только в двух шарнирах, поэтому их сила направлена вдоль прямой между шарнирами.
Разберите раму на части и нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах в местах соединения элементов.
Для каждого элемента возьмите моменты относительно шарнира с неизвестными силами, затем используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0; составляющие объедините в модуль в конце.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Тренировочные задачи

1.Векторы: скалярное и векторное произведенияСредняя

Найдите скалярное произведение a·b векторов a = (−4, 5, −6) и b = (7, −6, 7).

a = (−4, 5, −6)b = (7, −6, 7)

a·b =

2.Векторы: скалярное и векторное произведенияСложная

Сила F = (−40, −60, −20) N действует в точке A(−3, −2, 0). Координаты даны в метрах. Найдите модуль |M| момента силы относительно точка O(1, 2, 1).

F = (−40, −60, −20) NA(−3, −2, 0) mO(1, 2, 1) m

|M| = N·m

3.Опорные реакции балокСредняя

Балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную опору в B на расстоянии 6 m от A и консольный свес за B до свободного конца C. Найдите вертикальную реакцию R_A, считая положительным направление вверх.

AB = 6 mAC = 10 mP₁ = 15 kN в 3 mP₂ = 35 kN в 10 m

R_A = kN

4.Опорные реакции балокСложная

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_A.

L = 10 mP = 20 kN в 8 mw = 12 kN/m от 7 до 9 m

R_A = kN

5.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

D: 30 kN ↓G: 10 kN ↓

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент FC
13элемент HC

6.Ферма: метод вырезания узловСложная

Методом вырезания узлов найдите усилие F_AB в стержне AB. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 8 mвысота = 2 mB на расстоянии 3 m от Aвертикальная нагрузка = 45 kNгоризонтальная нагрузка = 25 kN ←

F_AB = kN

7.Рамы и механизмыСредняя

Угловой рычаг на рисунке поворачивается вокруг шарнира O. Вертикальная сила 300 N в точке A (120 mm от O) уравновешивается горизонтальной силой в точке B (75 mm выше O). Найдите модуль реакции F_O в шарнире.

F = 300 NOA = 120 mmOB = 75 mm

F_O = N

8.Рамы и механизмыСложная

Коленно-рычажный пресс имеет два равных звена AB и BC длиной 200 mm между шарнирами каждое. Шарнир B находится на 30 mm выше прямой AC. Какая направленная вниз сила F в точке B создаёт горизонтальную силу прессования 4000 N на ползуне C? Трением и весом пренебрегите.

Q = 4000 NAB = BC = 200 mmh = 30 mm

F = N

9.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 4,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 8 mw = 2 kN/m от 0 до 8 mx = 4,5 m

M_x = kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Балка опирается на неподвижный шарнир в A и подвижную опору в B и имеет консольный свес длиной 2,5 m за B до свободного конца C. Равномерно распределённая нагрузка w действует по всей длине A–C. Найдите наибольший положительный изгибающий момент M_max между опорами.

L = 8,5 mw = 5 kN/m от 0 до 8,5 mопоры при x = 0 и x = 6 m

M_max = kN·m

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Круглая труба имеет наружный диаметр D = 240 mm и внутренний диаметр d = 228 mm. Найдите его радиус инерции r относительно горизонтальной центральной оси.

D = 240 mmd = 228 mm

r = mm

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 15 kN·m. Найдите напряжение изгиба σ_низ на нижнем крае.

b_f = 220 mmt_f = 25 mmt_w = 14 mmh_w = 120 mmM = 15 kN·m

σ_низ = MPa

3Растворы

1.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: a·b = −100

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Перемножьте соответствующие компоненты и сложите

a·b = (−4)·7 + 5·(−6) + (−6)·7 = (−28) + (−30) + (−42) = −100

Ответ

a·b = −100

Отрицательное: угол между векторами больше 90°.

2.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: |M| = 91,65 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Радиус-вектор из O в A

r = A − O = (−3, −2, 0) − (1, 2, 1) = (−4, −4, −1) m

Момент M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = (−4)·(−20) − (−1)·(−60) = 20 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = (−1)·(−40) − (−4)·(−20) = −40 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = (−4)·(−60) − (−4)·(−40) = 80 N·m

Модуль

|M| = √(20² + (−40)² + 80²) = 91,65 N·m

Ответ

|M| = 91,65 N·m

3.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = −15,83 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.

Моменты относительно A

Против часовой стрелки — положительно.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 15·3 + 35·10

R_B = 395/6 = 65,83 kN

Равновесие по вертикали

R_A = 15 + 35 − 65,83 = −15,83 kN

Ответ

R_A = −15,83 kN

R_A отрицательна: шарнир A должен удерживать балку от отрыва.

4.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 8,8 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 12·2 = 24 kN, приложена в x̄ = 8 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 20·8 + 12·2·8

R_B = 352/10 = 35,2 kN

ΣF_y = 0: R_A = 44 − 35,2 = 8,8 kN

Ответ

R_A = 8,8 kN

5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент BF

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел B

AB и BC лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только BF.

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 12,5 kN (T), BC: 12,5 kN (T), CD: 27,5 kN (T), DE: 27,5 kN (T), FG: 25 kN (C), GH: 25 kN (C), AF: 17,68 kN (C), HE: 38,89 kN (C), BF: 0, CG: 10 kN (C), DH: 30 kN (T), FC: 17,68 kN (T), HC: 3,536 kN (C)

Ответ

Нулевой элемент: BF

6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AB = −61,97 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 45·3 − 25·2 → C_y = 10,63 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 10,63 = 34,38 kN

ΣF_x = 0: A_x = 25 kN

Узел A

Предположите, что каждый стержень растянут (тянет от узла). Только AB имеет вертикальную составляющую в узле A.

sin α = 2/3,606 = 0,5547

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −34,38/0,5547 = −61,97 kN

Ответ

F_AB = −61,97 kN (сжатие)

7.Рамы и механизмы

Ответ: F_O = 566 N

Механизмы: плоскогубцы, рычаги, шарнирные системы и зажимы преобразуют входную силу в большую или иначе направленную выходную. Нарисуйте одну часть как свободное тело и возьмите моменты относительно её оси: сила в шарнире выпадает, а F_in·a = F_out·b даёт выигрыш в силе a/b. Сила в шарнире затем следует из ΣF = 0 для той же части. В коленно-рычажном механизме два звена сходятся под малым углом θ; каждое звено — двухсиловой элемент, поэтому малая сила F в узле создаёт большие силы в звеньях F/(2 sin θ) и зажимную силу F/(2 tan θ).

Сила в B

Q = 300·120/75 = 480 N

Реакция в шарнире

O_x = 480 N, O_y = 300 N

F_O = √(480² + 300²) = 566 N

Ответ

F_O = 566 N

8.Рамы и механизмы

Ответ: F = 1214 N

Угол звена

sin θ = 30/200 = 0,15, θ = 8,627°

Сила в звене

F_link = Q/cos θ = 4046 N

Сила в B

F = 2·F_link·sin θ = 2·4000·tan θ = 1214 N

Ответ

F = 1214 N

9.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 15,75 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 2·8 = 16 kN, приложена в x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 2·8·4

R_B = 64/8 = 8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 16 − 8 = 8 kN

Рассеките в x = 4,5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 8·4,5 − 2·4,5·2,25 = 15,75 kN·m

Ответ

M_x = 15,75 kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_max = 15,37 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки с учётом нагрузки на консольном свесе.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 5·8,5 = 42,5 kN, приложена в x̄ = 4,25 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 5·8,5·4,25

R_B = 180,6/6 = 30,1 kN

ΣF_y = 0: R_A = 42,5 − 30,1 = 12,4 kN

Нулевая поперечная сила

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 12,4/5 = 2,479 m

Наибольший положительный момент

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 12,4²/(2·5) = 15,37 kN·m

Ответ

M_max = 15,37 kN·m

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: r = 82,76 mm

Момент инерции сечения: для прямоугольника относительно его собственной центральной оси I = bh³/12, а относительно основания bh³/3 (теорема о параллельном переносе осей I = I_c + A·d²). Отверстие учитывают, вычитая его I, если обе части отнесены к одной и той же оси. Момент сопротивления сечения S = I/c, где c — расстояние до крайнего волокна. Радиус инерции r = √(I/A) — это расстояние, на котором вся площадь дала бы тот же I; он используется при расчёте колонн на устойчивость.

Площадь и момент инерции нетто

A = π(D² − d²)/4 = 4411 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 3,021 × 10⁷ mm⁴

Радиус инерции

r = √(I/A) = √(3,021 × 10⁷/4411) = 82,76 mm

Ответ

r = 82,76 mm

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_низ = 191,1 MPa

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 220·25 = 5500 mm², y_f = 120 + 25/2 = 132,5 mm

стенка: A_w = 14·120 = 1680 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5500·132,5 + 1680·60)/7180 = 115,5 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 220·25³/12 + 5500·(132,5 − 115,5)² = 1,869 × 10⁶ mm⁴

стенка: 14·120³/12 + 1680·(60 − 115,5)² = 7,198 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,869 × 10⁶ + 7,198 × 10⁶ = 9,067 × 10⁶ mm⁴

Напряжение изгиба

Нижний край на расстоянии ȳ от оси.

y = 115,5 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·115,5/9,067 × 10⁶ = 191,1 MPa

Ответ

σ_низ = 191,1 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics