Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 18, 44, 34, 52, 10, 48.

n = 6

s =

2.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 100 и стандартным отклонением 8. Какая доля P значений больше 90,4?

μ = 100σ = 8x = 90,4

P =

3.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите стандартное отклонение σ величины X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,35, 0,2, 0,35, 0,1

σ =

4.ВероятностьСложная

Испытывают 7 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,6. Какова вероятность P, что откажет не более одного?

n = 7p = 0,6

P =

5.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь под стандартной нормальной кривой справа от z была равна 0,9890. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,9890

z =

6.Нормальное распределениеСложная

Пусть результаты IQ-тестов распределены нормально со средним 100 баллов и стандартным отклонением 15 баллов. Найдите значение x, ниже которого лежат 97,5 % значений (97,5-й процентиль).

μ = 100σ = 15P = 97,5%

x = баллов

7.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 13 элементов имеет среднее 99,5 и стандартное отклонение s = 8,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите нижнюю границу 90 % доверительного интервала для среднего.

n = 13x̄ = 99,5s = 8,590%t(12) = 1,782

нижняя граница =

8.Доверительные интервалыСложная

О доле бракованных изделий заранее ничего не известно. Сколько изделий n нужно проверить, чтобы 99 % доверительный интервал для доли имел предельную ошибку не более 0,03?

p = 0,5E = 0,0399%

n =

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Утверждается, что среднее генеральной совокупности равно 50; стандартное отклонение генеральной совокупности известно и равно 12. Случайная выборка из 144 наблюдений имеет среднее 51,72. Проверьте H₀: μ = 50 против H₁: μ > 50. Найдите p-значение p.

μ₀ = 50σ = 12n = 144x̄ = 51,72H₁: μ > μ₀

p =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

В исследовании выздоравливают 15 из 100 пациентов, получавших лечение A, и 45 из 150 пациентов, получавших лечение B. Используя объединённую долю, найдите статистику критерия z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 15n₁ = 100x₂ = 45n₂ = 150

z =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 6

r² =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 25?

n = 5ŷ = 25

x =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 17,04

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 206/6 = 34,33

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−16,33)² + 9,667² + (−0,3333)² + 17,67² + (−24,33)² + 13,67² = 1451

Стандартное отклонение

s = √(1451/5) = 17,04

Ответ

s = 17,04

2.Описательная статистика

Ответ: P = 0,8849

Стандартизуйте

z = −1,2

Таблица нормального распределения

Φ(−1,2) = 0,1151

P = 1 − 0,1151 = 0,8849

Ответ

P = 0,8849

3.Вероятность

Ответ: σ = 2,059

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 0·0,35 + 2·0,2 + 4·0,35 + 6·0,1 = 2,4

Среднее квадратов

E(X²) = 0·0,35 + 4·0,2 + 16·0,35 + 36·0,1 = 10

Дисперсия

Var(X) = 10 − 2,4² = 4,24

σ = √4,24 = 2,059

Ответ

σ = 2,059

4.Вероятность

Ответ: P = 0,01884

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Ноль и один отказ

P(X = 0) = 0,4⁷ = 0,001638

P(X = 1) = 7·0,6·0,4⁶ = 0,0172

Сложите

P = 0,001638 + 0,0172 = 0,01884

Ответ

P = 0,01884

5.Нормальное распределение

Ответ: z = −2,29

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = 1 − 0,9890 = 0,0110

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,0110 внутри таблицы и считайте z.

z = −2,29

Ответ

z = −2,29

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 129,4 баллов

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z для процентиля

Φ(z) = 0,975 → z = 1,96

Обратно к x

x = 100 + 1,96·15 = 129,4 баллов

Ответ

x = 129,4 баллов

7.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = 95,3

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 12, t = 1,782

Предельная ошибка

E = 1,782·8,5/√13 = 4,201

Интервал

99,5 ± 4,201 → [95,3, 103,7]

Ответ

нижняя граница = 95,3

8.Доверительные интервалы

Ответ: n = 1844

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Выразите n

n = 2,576²·0,5·0,5/0,03² = 1843

Округлите вверх

n = 1844

Ответ

n = 1844

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: p = 0,04272

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Статистика критерия

SE = σ/√n = 12/√144 = 1

z = (51,72 − 50)/1 = 1,72

Площадь хвоста

Φ(1,72) = 0,9573

1 − Φ(1,72) = 0,0427

p-значение

p = 0,04272

Ответ

p = 0,04272

p ≤ 0,05, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 %.

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = −2,721

Выборочные доли

p̂₁ = 15/100 = 0,15

p̂₂ = 45/150 = 0,3

p̂ = 60/250 = 0,24

Стандартная ошибка при H₀

SE = √(0,24·0,76·(1/100 + 1/150)) = 0,05514

Статистика критерия

z = (0,15 − 0,3)/0,05514 = −2,721

Ответ

z = −2,721

|z| > 1,96, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,8428

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 33/6 = 5,5

ȳ = 214/6 = 35,67

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 52

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 183,3

Коэффициент детерминации

r² = 52²/(17,5·183,3) = 0,8428

Ответ

r² = 0,8428

Прямая объясняет около 84,28% вариации y.

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 2,368

Средние

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 119/5 = 23,8

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −19

Линия регрессии

b = −19/10 = −1,9

a = 23,8 − (−1,9)·3 = 29,5

ŷ = 29,5 − 1,9·x

Найдите x

x = (25 − 29,5)/(−1,9) = 2,368

Ответ

x = 2,368

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1