Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 20, 58, 20, 12, 15.

n = 5

s =

2.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 70 и стандартным отклонением 15. Какая доля P значений меньше 55?

μ = 70σ = 15x = 55

P =

3.ВероятностьСредняя

Сколькими способами N можно выбрать комиссию из 3 человек из группы из 15 человек? Порядок не важен.

n = 15k = 3

N =

4.ВероятностьСложная

Испытывают 6 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,4. Какова вероятность P, что откажет не более одного?

n = 6p = 0,4

P =

5.Нормальное распределениеСредняя

Пусть баллы за экзамен распределены нормально со средним 65 баллов и стандартным отклонением 10 баллов. Какая доля значений лежит между 45 и 73 баллов? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 65σ = 10x₁ = 45x₂ = 73

P =

6.Нормальное распределениеСложная

Распределение «сроки службы батареек» нормальное: среднее 500 h, стандартное отклонение 40 h. Перетащите границу так, чтобы закрашенные нижние 95% были слева от неё. Найдите границу x.

μ = 500 hσ = 40 h95%

x = h

7.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 30 элементов имеет среднее 27 и стандартное отклонение s = 8. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите нижнюю границу 95 % доверительного интервала для среднего.

n = 30x̄ = 27s = 895%t(29) = 2,045

нижняя граница =

8.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 34. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 95 % доверительного интервала для среднего не превышала 2?

σ = 34E = 295%

n =

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Две производственные линии изготавливают одну и ту же деталь. Линия 1: выборка из 60 деталей имеет среднюю длину 124,5 mm, известное стандартное отклонение линии 18 mm. Линия 2: выборка из 100 деталей имеет среднее 128,1 mm, известное стандартное отклонение 19 mm. Найдите статистику критерия z для H₀: μ₁ = μ₂, принимая разность как x̄₁ − x̄₂ (линия 1 минус линия 2).

n₁ = 60x̄₁ = 124,5 mmσ₁ = 18 mmn₂ = 100x̄₂ = 128,1 mmσ₂ = 19 mm

z =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Односторонний z-критерий для H₀: μ = 50 против H₁: μ < 50 проводится при α = 0.05 по выборке объёмом 36; стандартное отклонение известно и равно 15. В действительности среднее равно 43.25. Найдите вероятность ошибки второго рода β в процентах.

μ₀ = 50μ = 43,25σ = 15n = 36α = 0,05

β = %

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 6

r² =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 63?

n = 5ŷ = 63

x =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 18,76

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 125/5 = 25

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−5)² + 33² + (−5)² + (−13)² + (−10)² = 1408

Стандартное отклонение

s = √(1408/4) = 18,76

Ответ

s = 18,76

2.Описательная статистика

Ответ: P = 0,1587

Стандартизуйте

z = −1

Таблица нормального распределения

Φ(−1) = 0,1587

P = 0,1587

Ответ

P = 0,1587

3.Вероятность

Ответ: N = 455

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Сочетания

C(15, 3) = (15·14·13)/(3·2·1) = 455

Ответ

N = 455

4.Вероятность

Ответ: P = 0,2333

Ноль и один отказ

P(X = 0) = 0,6⁶ = 0,04666

P(X = 1) = 6·0,4·0,6⁵ = 0,1866

Сложите

P = 0,04666 + 0,1866 = 0,2333

Ответ

P = 0,2333

5.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,7654

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (45 − 65)/10 = −2

z₂ = (73 − 65)/10 = 0,8

Площадь между

P = Φ(0,8) − Φ(−2) = 0,7881 − 0,02275 = 0,7654

Ответ

P = 0,7654

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 566 h

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева

Φ(z) = 0,95

z из таблицы

z ≈ 1,64

Возврат к исходным единицам

x = 500 + 1,64·40 = 566 h

Ответ

x = 566 h

7.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = 24,01

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 29, t = 2,045

Предельная ошибка

E = 2,045·8/√30 = 2,987

Интервал

27 ± 2,987 → [24,01, 29,99]

Ответ

нижняя граница = 24,01

8.Доверительные интервалы

Ответ: n = 1111

Выразите n

n = (1,96·34/2)² = 1110

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 1111

Ответ

n = 1111

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = −1,199

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Стандартная ошибка разности

SE = √(18²/60 + 19²/100) = √9,01 = 3,002

Статистика критерия

z = (124,5 − 128,1)/3,002 = −1,199

Ответ

z = −1,199

|z| < 1.96, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: β = 14,57 %

Мощность критерия: мощность = 1 − β — вероятность отвергнуть H₀, когда она ложна. Найдите границу x̄c по μ₀ и z_α, затем вычислите вероятность оказаться за x̄c при истинном среднем: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Критическое выборочное среднее

SE = 15/√36 = 2,5

x̄_c = 50 − 1,645·2,5 = 45,89

z при истинном среднем

z = (45,89 − 43,25)/2,5 = 1,055

Ошибка второго рода

мощность = P(Z < 1.055) = 85.43%

β = 100% − 85,43% = 14,57%

Ответ

β = 14,57%

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,889

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 132/6 = 22

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −33

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 70

Коэффициент детерминации

r² = −33²/(17,5·70) = 0,889

Ответ

r² = 0,889

Прямая объясняет около 88,9% вариации y.

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 4,412

Средние

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 279/5 = 55,8

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 51

Линия регрессии

b = 51/10 = 5,1

a = 55,8 − 5,1·3 = 40,5

ŷ = 40,5 + 5,1·x

Найдите x

x = (63 − 40,5)/5,1 = 4,412

Ответ

x = 4,412

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1