Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 41, 32, 47, 54, 35.

n = 5

s =

2.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 50 и стандартным отклонением 8. Какая доля P значений больше 66?

μ = 50σ = 8x = 66

P =

3.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите дисперсию Var(X) величины X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,2, 0,25, 0,2, 0,35

Var(X) =

4.ВероятностьСложная

Игра стоит €5. Вы выигрываете €20 с вероятностью 0,25 и €250 с вероятностью 0,02; в остальных случаях вы ничего не выигрываете. Ставка не возвращается. Найдите ожидаемый чистый выигрыш E(G) за одну игру.

ставка = €5€20: p = 0,25€250: p = 0,02

E(G) = €

5.Нормальное распределениеСредняя

Массы объектов (болты) независимы и нормально распределены со средним 40 g и стандартным отклонением 1,2 g. Найдите вероятность P того, что общая масса 8 из них меньше 314,9 g. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ = 40 gσ = 1,2 gn = 8< 314.9 g

P =

6.Нормальное распределениеСложная

Время круга X бегуна A и время круга Y бегуна B независимы и нормально распределены: X имеет среднее 52 s и стандартное отклонение 4 s, Y имеет среднее 48 s и стандартное отклонение 3 s. Найдите вероятность P того, что X больше Y. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

7.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 30 элементов имеет среднее 26 и стандартное отклонение s = 12,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите нижнюю границу 90 % доверительного интервала для среднего.

n = 30x̄ = 26s = 12,590%t(29) = 1,699

нижняя граница =

8.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 10. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 99 % доверительного интервала для среднего не превышала 4?

σ = 10E = 499%

n =

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Сравниваются два метода обучения. Группа 1: 7 студентов, средний балл 117,5, стандартное отклонение 8,5. Группа 2: 5 студентов, средний балл 125,1, стандартное отклонение 4,5. Считайте дисперсии генеральных совокупностей равными и используйте двухвыборочный t-критерий с объединённой дисперсией. Найдите статистику критерия t для H₀: μ₁ = μ₂, принимая разность как x̄₁ − x̄₂ (группа 1 минус группа 2).

n₁ = 7x̄₁ = 117,5s₁ = 8,5n₂ = 5x̄₂ = 125,1s₂ = 4,5

t =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Односторонний z-критерий для H₀: μ = 200 против H₁: μ > 200 проводится при α = 0,10 по выборке объёмом 100; стандартное отклонение известно и равно 20. В действительности среднее равно 202,8. Найдите мощность 1 − β критерия в процентах.

μ₀ = 200μ = 202,8σ = 20n = 100α = 0,10

1 − β = %

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 6

r² =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (2, 54). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 5(2, 54)

e =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 8,927

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 209/5 = 41,8

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−0,8)² + (−9,8)² + 5,2² + 12,2² + (−6,8)² = 318,8

Стандартное отклонение

s = √(318,8/4) = 8,927

Ответ

s = 8,927

2.Описательная статистика

Ответ: P = 0,02275

Стандартизуйте

z = 2

Таблица нормального распределения

Φ(2) = 0,9772

P = 1 − 0,9772 = 0,02275

Ответ

P = 0,02275

3.Вероятность

Ответ: Var(X) = 5,24

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 0·0,2 + 2·0,25 + 4·0,2 + 6·0,35 = 3,4

Среднее квадратов

E(X²) = 0·0,2 + 4·0,25 + 16·0,2 + 36·0,35 = 16,8

Дисперсия

Var(X) = 16,8 − 3,4² = 5,24

Ответ

Var(X) = 5,24

4.Вероятность

Ответ: E(G) = 5 €

Чистые исходы

G: 15 (p = 0,25), 245 (p = 0,02), −5 (p = 0,73)

Математическое ожидание

E(G) = 15·0,25 + 245·0,02 − 5·0,73 = 5 €

Ответ

E(G) = 5 €

Положительное значение означает, что в среднем вы выигрываете деньги.

5.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,06681

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ_T = 320 g, σ_T = 1,2·√8 = 3,394 g

Стандартизуйте

z = (314,9 − 320)/3,394 = −1,5

Вероятность

P = Φ(−1,5) = 0,06681

Ответ

P = 0,06681

6.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,7881

Распределение разности

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

Стандартизуйте

z = (0 − 4)/5 = −0,8

Вероятность

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

Ответ

P = 0,7881

7.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = 22,12

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 29, t = 1,699

Предельная ошибка

E = 1,699·12,5/√30 = 3,877

Интервал

26 ± 3,877 → [22,12, 29,88]

Ответ

нижняя граница = 22,12

8.Доверительные интервалы

Ответ: n = 42

Выразите n

n = (2,576·10/4)² = 41,47

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 42

Ответ

n = 42

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −1,81

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Объединённая дисперсия

s_p² = (6·8,5² + 4·4,5²)/10 = 51,45

s_p = 7,173

Стандартная ошибка

SE = 7,173·√(1/7 + 1/5) = 4,2

Статистика критерия

t = (117,5 − 125,1)/4,2 = −1,81

Ответ

t = −1,81

При df = 10 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,228; |t| меньше, поэтому H₀ не отвергается.

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: 1 − β = 54,7 %

Мощность критерия: мощность = 1 − β — вероятность отвергнуть H₀, когда она ложна. Найдите границу x̄c по μ₀ и z_α, затем вычислите вероятность оказаться за x̄c при истинном среднем: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Критическое выборочное среднее

SE = 20/√100 = 2

x̄_c = 200 + 1,282·2 = 202,6

z при истинном среднем

z = (202,6 − 202,8)/2 = −0,118

Мощность

мощность = P(Z > −0,118) = 54,7%

1 − β = 54,7%

Ответ

1 − β = 54,7%

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,9937

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 150/6 = 25

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 246

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 870

Коэффициент детерминации

r² = 246²/(70·870) = 0,9937

Ответ

r² = 0,9937

Прямая объясняет около 99,37% вариации y.

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = 3,15

Средние

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 339/5 = 67,8

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 226

Линия регрессии

b = 226/40 = 5,65

a = 67,8 − 5,65·5 = 39,55

ŷ = 39,55 + 5,65·x

Прогнозируемое значение

ŷ = 39,55 + 5,65·2 = 50,85

Остаток

e = 54 − 50,85 = 3,15

Ответ

e = 3,15

Точка лежит выше прямой.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1