Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 52, 60, 48, 43, 56, 15, 21.

n = 7

s =

2.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 170 и стандартным отклонением 20. Найдите z-оценку z для результата 210.

μ = 170σ = 20x = 210

z =

3.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите дисперсию Var(X) величины X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,3, 0,2, 0,25, 0,25

Var(X) =

4.ВероятностьСложная

Испытывают 8 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,1. Какова вероятность P, что откажет не более одного?

n = 8p = 0,1

P =

5.Нормальное распределениеСредняя

Пусть сроки доставки распределены нормально со средним 32 min и стандартным отклонением 6 min. Какая доля значений лежит между 27,2 и 33,2 min? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 32σ = 6x₁ = 27,2x₂ = 33,2

P =

6.Нормальное распределениеСложная

Пусть сроки службы батареек распределены нормально со средним 500 h и стандартным отклонением 40 h. Найдите значение x, ниже которого лежат 95 % значений (95-й процентиль).

μ = 500σ = 40P = 95%

x = h

7.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 15 элементов имеет среднее 75 и стандартное отклонение s = 17,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите предельную ошибку E 99 % доверительного интервала для среднего.

n = 15x̄ = 75s = 17,599%t(14) = 2,977

E =

8.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 38. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 90 % доверительного интервала для среднего не превышала 2,5?

σ = 38E = 2,590%

n =

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 49 студентов имеет средний балл 97,79 и выборочное стандартное отклонение 5. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 97,79s = 5n = 49

t =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Какой должна быть выборка, чтобы 95 % доверительный интервал для среднего имел предельную ошибку не более 1,5? Стандартное отклонение — 5. Найдите наименьший объём выборки n.

σ = 5E = 1,595%

n =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 6

r =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (3, 11). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 5(3, 11)

e =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 17,45

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 295/7 = 42,14

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 9,857² + 17,86² + 5,857² + 0,8571² + 13,86² + (−27,14)² + (−21,14)² = 1827

Стандартное отклонение

s = √(1827/6) = 17,45

Ответ

s = 17,45

2.Описательная статистика

Ответ: z = 2

Стандартизуйте

z = (210 − 170)/20 = 2

Ответ

z = 2

3.Вероятность

Ответ: Var(X) = 1,348

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 0·0,3 + 1·0,2 + 2·0,25 + 3·0,25 = 1,45

Среднее квадратов

E(X²) = 0·0,3 + 1·0,2 + 4·0,25 + 9·0,25 = 3,45

Дисперсия

Var(X) = 3,45 − 1,45² = 1,348

Ответ

Var(X) = 1,348

4.Вероятность

Ответ: P = 0,8131

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Ноль и один отказ

P(X = 0) = 0,9⁸ = 0,4305

P(X = 1) = 8·0,1·0,9⁷ = 0,3826

Сложите

P = 0,4305 + 0,3826 = 0,8131

Ответ

P = 0,8131

5.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,3674

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (27,2 − 32)/6 = −0,8

z₂ = (33,2 − 32)/6 = 0,2

Площадь между

P = Φ(0,2) − Φ(−0,8) = 0,5793 − 0,2119 = 0,3674

Ответ

P = 0,3674

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 565,8 h

z для процентиля

Φ(z) = 0,95 → z = 1,645

Обратно к x

x = 500 + 1,645·40 = 565,8 h

Ответ

x = 565,8 h

7.Доверительные интервалы

Ответ: E = 13,45

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 14, t = 2,977

Предельная ошибка

E = 2,977·17,5/√15 = 13,45

Ответ

E = 13,45

8.Доверительные интервалы

Ответ: n = 626

Выразите n

n = (1,645·38/2,5)² = 625,2

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 626

Ответ

n = 626

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −3,094

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 5/√49 = 5/7 = 0,7143

Статистика критерия

t = (97,79 − 100)/0,7143 = −3,094

Ответ

t = −3,094

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| > 2,011, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 43

Выразите n

n = (1,96·5/1,5)² = 42,68

Округлите вверх

n = 43

Ответ

n = 43

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9948

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 563/6 = 93,83

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 457

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 3015

Коэффициент корреляции

r = 457/√(70·3015) = 0,9948

Ответ

r = 0,9948

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = 2,95

Средние

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 80/5 = 16

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 106

Линия регрессии

b = 106/40 = 2,65

a = 16 − 2,65·6 = 0,1

ŷ = 0,1 + 2,65·x

Прогнозируемое значение

ŷ = 0,1 + 2,65·3 = 8,05

Остаток

e = 11 − 8,05 = 2,95

Ответ

e = 2,95

Точка лежит выше прямой.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1