Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 50, 58, 52, 11, 58, 22, 51.

n = 7

s =

2.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 500 и стандартным отклонением 75. Какая доля P значений больше 593,8?

μ = 500σ = 75x = 593,8

P =

3.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите стандартное отклонение σ величины X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,35, 0,15, 0,2, 0,3

σ =

4.ВероятностьСложная

Испытывают 10 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,4. Какова вероятность P, что откажет не более одного?

n = 10p = 0,4

P =

5.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь под стандартной нормальной кривой справа от z была равна 0,8643. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,8643

z =

6.Нормальное распределениеСложная

Пусть сроки службы батареек распределены нормально со средним 500 h и стандартным отклонением 40 h. Найдите значение x, ниже которого лежат 99 % значений (99-й процентиль).

μ = 500σ = 40P = 99%

x = h

7.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 9 элементов имеет среднее 102 и стандартное отклонение s = 4,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите предельную ошибку E 95 % доверительного интервала для среднего.

n = 9x̄ = 102s = 4,595%t(8) = 2,306

E =

8.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 18. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 99 % доверительного интервала для среднего не превышала 3?

σ = 18E = 399%

n =

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 81 студентов имеет средний балл 202,7 и выборочное стандартное отклонение 20. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 202,7s = 20n = 81

t =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Односторонний z-критерий при α = 0,01 должен обнаруживать сдвиг среднего на 3 единиц с мощностью 80 %. Стандартное отклонение равно 22. Найдите минимальный объём выборки n.

α = 0,01мощность = 80%δ = 3σ = 22z_α = 2,326z_β = 0,842

n =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 6

r² =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (8, 64). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 6(8, 64)

e =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 18,75

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 302/7 = 43,14

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 6,857² + 14,86² + 8,857² + (−32,14)² + 14,86² + (−21,14)² + 7,857² = 2109

Стандартное отклонение

s = √(2109/6) = 18,75

Ответ

s = 18,75

2.Описательная статистика

Ответ: P = 0,1056

Стандартизуйте

z = 1,25

Таблица нормального распределения

Φ(1,25) = 0,8944

P = 1 − 0,8944 = 0,1056

Ответ

P = 0,1056

3.Вероятность

Ответ: σ = 1,244

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 1·0,35 + 2·0,15 + 3·0,2 + 4·0,3 = 2,45

Среднее квадратов

E(X²) = 1·0,35 + 4·0,15 + 9·0,2 + 16·0,3 = 7,55

Дисперсия

Var(X) = 7,55 − 2,45² = 1,547

σ = √1,547 = 1,244

Ответ

σ = 1,244

4.Вероятность

Ответ: P = 0,04636

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Ноль и один отказ

P(X = 0) = 0,6¹⁰ = 0,006047

P(X = 1) = 10·0,4·0,6⁹ = 0,04031

Сложите

P = 0,006047 + 0,04031 = 0,04636

Ответ

P = 0,04636

5.Нормальное распределение

Ответ: z = −1,1

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = 1 − 0,8643 = 0,1357

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,1357 внутри таблицы и считайте z.

z = −1,10

Ответ

z = −1,10

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 593,1 h

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z для процентиля

Φ(z) = 0,99 → z = 2,326

Обратно к x

x = 500 + 2,326·40 = 593,05 h

Ответ

x = 593,05 h

7.Доверительные интервалы

Ответ: E = 3,459

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 8, t = 2,306

Предельная ошибка

E = 2,306·4,5/√9 = 3,459

Ответ

E = 3,459

8.Доверительные интервалы

Ответ: n = 239

Выразите n

n = (2,576·18/3)² = 238,9

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 239

Ответ

n = 239

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 1,215

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 20/√81 = 20/9 = 2,222

Статистика критерия

t = (202,7 − 200)/2,222 = 1,215

Ответ

t = 1,215

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| < 1.99, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 540

Объём выборки для критерия: чтобы обнаружить истинный сдвиг δ с мощностью 1 − β одностронним z-критерием на уровне α, стандартная ошибка должна удовлетворять δ = (z_α + z_β)·σ/√n, поэтому n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² с округлением вверх.

Выразите n

n = ((2,326 + 0,842)·22/3)² = 539,7

Округлите вверх

n = 540

Ответ

n = 540

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,9861

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 135/6 = 22,5

ȳ = 610/6 = 101,7

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 774

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 3857

Коэффициент детерминации

r² = 774²/(157,5·3857) = 0,9861

Ответ

r² = 0,9861

Прямая объясняет около 98,61% вариации y.

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = −1,833

Средние

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 395/6 = 65,83

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 235

Линия регрессии

b = 235/70 = 3,357

a = 65,83 − 3,357·8 = 38,98

ŷ = 38,98 + 3,357·x

Прогнозируемое значение

ŷ = 38,98 + 3,357·8 = 65,83

Остаток

e = 64 − 65,83 = −1,833

Ответ

e = −1,833

Точка лежит ниже прямой.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1