Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 55, 18, 17, 51, 20.

n = 5

s =

2.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 50 и стандартным отклонением 20. Найдите z-оценку z для результата 30.

μ = 50σ = 20x = 30

z =

3.ВероятностьСредняя

Сколькими способами N можно выбрать комиссию из 2 человек из группы из 12 человек? Порядок не важен.

n = 12k = 2

N =

4.ВероятностьСложная

Испытывают 8 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,6. Какова вероятность P, что откажет не более одного?

n = 8p = 0,6

P =

5.Нормальное распределениеСредняя

Пусть баллы за экзамен распределены нормально со средним 65 баллов и стандартным отклонением 10 баллов. Какая доля значений лежит между 53 и 70,5 баллов? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 65σ = 10x₁ = 53x₂ = 70,5

P =

6.Нормальное распределениеСложная

Распределение «баллы за экзамен» нормальное: среднее 65 баллов, стандартное отклонение 10 баллов. Перетащите границу так, чтобы закрашенные верхние 30% были справа от неё. Найдите границу x.

μ = 65 балловσ = 10 баллов30%

x = баллов

7.Доверительные интервалыСредняя

90 % доверительный интервал для среднего, построенный по 25 наблюдениям при известном σ, имеет предельную ошибку 5,5. Какой будет предельная ошибка E₂, если в том же исследовании использовать 225 наблюдений?

90%n₁ = 25E₁ = 5,5n₂ = 225

E₂ =

8.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 22. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 90 % доверительного интервала для среднего не превышала 4?

σ = 22E = 490%

n =

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 81 студентов имеет средний балл 73,78 и выборочное стандартное отклонение 5. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 73,78s = 5n = 81

t =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Односторонний z-критерий для H₀: μ = 80 против H₁: μ < 80 проводится при α = 0.10 по выборке объёмом 64; стандартное отклонение известно и равно 20. В действительности среднее равно 76.75. Найдите вероятность ошибки второго рода β в процентах.

μ₀ = 80μ = 76,75σ = 20n = 64α = 0,10

β = %

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 5

r² =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (4, 38). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 6(4, 38)

e =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 19,07

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 161/5 = 32,2

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 22,8² + (−14,2)² + (−15,2)² + 18,8² + (−12,2)² = 1455

Стандартное отклонение

s = √(1455/4) = 19,07

Ответ

s = 19,07

2.Описательная статистика

Ответ: z = −1

Стандартизуйте

z = (30 − 50)/20 = −1

Ответ

z = −1

3.Вероятность

Ответ: N = 66

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Сочетания

C(12, 2) = (12·11)/(2·1) = 66

Ответ

N = 66

4.Вероятность

Ответ: P = 0,00852

Ноль и один отказ

P(X = 0) = 0,4⁸ = 0,0006554

P(X = 1) = 8·0,6·0,4⁷ = 0,007864

Сложите

P = 0,0006554 + 0,007864 = 0,00852

Ответ

P = 0,00852

5.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,5938

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (53 − 65)/10 = −1,2

z₂ = (70,5 − 65)/10 = 0,55

Площадь между

P = Φ(0,55) − Φ(−1,2) = 0,7088 − 0,1151 = 0,5938

Ответ

P = 0,5938

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 70,2 баллов

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева

Φ(z) = 0,7

z из таблицы

z ≈ 0,52

Возврат к исходным единицам

x = 65 + 0,52·10 = 70,2 баллов

Ответ

x = 70,2 баллов

7.Доверительные интервалы

Ответ: E₂ = 1,833

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Отношение предельных ошибок

E₂/E₁ = (1,645/1,645)·√(25/225) = 0,3333

Новая предельная ошибка

E₂ = 5,5·0,3333 = 1,833

Ответ

E₂ = 1,833

8.Доверительные интервалы

Ответ: n = 82

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Выразите n

n = (1,645·22/4)² = 81,86

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 82

Ответ

n = 82

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −2,196

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 5/√81 = 5/9 = 0,5556

Статистика критерия

t = (73,78 − 75)/0,5556 = −2,196

Ответ

t = −2,196

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| > 1,99, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: β = 49,28 %

Мощность критерия: мощность = 1 − β — вероятность отвергнуть H₀, когда она ложна. Найдите границу x̄c по μ₀ и z_α, затем вычислите вероятность оказаться за x̄c при истинном среднем: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Критическое выборочное среднее

SE = 20/√64 = 2,5

x̄_c = 80 − 1,282·2,5 = 76,8

z при истинном среднем

z = (76,8 − 76,75)/2,5 = 0,018

Ошибка второго рода

мощность = P(Z < 0.018) = 50.72%

β = 100% − 50,72% = 49,28%

Ответ

β = 49,28%

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,9722

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 105/5 = 21

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −35

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 126

Коэффициент детерминации

r² = −35²/(10·126) = 0,9722

Ответ

r² = 0,9722

Прямая объясняет около 97,22% вариации y.

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = 4,852

Средние

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 263/6 = 43,83

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 187

Линия регрессии

b = 187/70 = 2,671

a = 43,83 − 2,671·8 = 22,46

ŷ = 22,46 + 2,671·x

Прогнозируемое значение

ŷ = 22,46 + 2,671·4 = 33,15

Остаток

e = 38 − 33,15 = 4,852

Ответ

e = 4,852

Точка лежит выше прямой.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1