Описательная статистика
- Среднее
- x̄ = Σx/n
- Выборочное стандартное отклонение
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Медиана
- срединное значение упорядоченных данных
- z-оценка
- z = (x − μ)/σ
- Нормальное распределение
- 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ
Основы статистики: шпаргалка-пакет
Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.
1Формулы и методы
Вероятность
- Противоположное событие
- P(not A) = 1 − P(A)
- Правило сложения
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Независимые события
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Условная вероятность
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Биномиальное распределение
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Нормальное распределение
- z-оценка
- z = (x − μ)/σ
- Меньше x
- P(X < x) = Φ(z)
- Больше x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Между
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Процентиль
- x = μ + z·σ
Метод
- Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
- Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
- Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
- Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.
Доверительные интервалы
- σ известно
- x̄ ± z·σ/√n
- σ неизвестно
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Критическое значение z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Объём выборки
- n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
- Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
- Найдите критическое значение для уровня доверия.
- Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
- Интервал: x̄ ± E.
Проверка гипотез и доверительные интервалы
- z-тест для среднего
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t-тест для среднего
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Двусторонний на уровне 5%
- отвергните H0, если |z| > 1,96
- Доверительный интервал
- x̄ ± z·σ/√n
Метод
- Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
- Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
- Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
- Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.
Линейная регрессия и корреляция
- Суммы квадратов
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Угловой коэффициент
- b = Sxy/Sxx
- Свободный член
- a = ȳ − b·x̄
- Корреляция
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Остаток
- e = y − ŷ
2Тренировочные задачи
1.Описательная статистикаСредняя
Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 48, 17, 48, 30, 26, 12, 14.
n = 7
s =
2.Описательная статистикаСложная
Величина распределена нормально со средним 500 и стандартным отклонением 100. Какая доля P значений меньше 380?
μ = 500σ = 100x = 380
P =
3.ВероятностьСредняя
Для показанного распределения найдите дисперсию Var(X) величины X.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,25, 0,3, 0,25, 0,1, 0,1
Var(X) =
4.ВероятностьСложная
Испытывают 6 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,7. Какова вероятность P, что откажет не более одного?
n = 6p = 0,7
P =
5.Нормальное распределениеСредняя
Пусть массы пакетов распределены нормально со средним 250 g и стандартным отклонением 5 g. Какая доля значений лежит между 250,25 и 255 g? Дайте P в виде десятичной дроби.
μ = 250σ = 5x1 = 250,25x2 = 255
P =
6.Нормальное распределениеСложная
Пусть массы пакетов распределены нормально со средним 250 g и стандартным отклонением 5 g. Найдите значение x, ниже которого лежат 5 % значений (5-й процентиль).
μ = 250σ = 5P = 5%
x = g
7.Доверительные интервалыСредняя
Выборка из 15 элементов имеет среднее 73,5 и стандартное отклонение s = 16,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите нижнюю границу 90 % доверительного интервала для среднего.
n = 15x̄ = 73,5s = 16,590%t(14) = 1,761
нижняя граница =
8.Доверительные интервалыСложная
Диаметры 25 обработанных валов имеют выборочное стандартное отклонение 1,2 µm. Считая диаметры нормально распределёнными, найдите границу 95 % доверительного интервала для стандартного отклонения генеральной совокупности — верхняя граница σ. При df = 24 2,5 % распределения χ² лежит ниже 12,401 и 2,5 % — выше 39,364.
n = 25s = 1,2 µmχ² = 12,401, 39,364
σ = µm
9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Выборка из 25 студентов имеет средний балл 51,92 и выборочное стандартное отклонение 4. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 51,92s = 4n = 25
t =
10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
Выборка из 100 измерений имеет среднее 201,5. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 8. Найдите верхнюю границу U 99 % доверительного интервала для среднего.
x̄ = 201,5σ = 8n = 10099%
U =
11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
В таблице даны 6 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.
n = 6Σx = 21Σy = 114Σx² = 91Σy² = 2204Σxy = 375
r =
12.Линейная регрессия и корреляцияСложная
В таблице даны 6 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 56?
n = 6ŷ = 56
x =
3Растворы
1.Описательная статистика
Ответ: s = 15,17
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Среднее
x̄ = 195/7 = 27,86
Квадраты отклонений
Σ(x − x̄)² = 20,14² + (−10,86)² + 20,14² + 2,143² + (−1,857)² + (−15,86)² + (−13,86)² = 1381
Стандартное отклонение
s = √(1381/6) = 15,17
Ответ
s = 15,17
2.Описательная статистика
Ответ: P = 0,1151
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = −1,2
Таблица нормального распределения
Φ(−1,2) = 0,1151
P = 0,1151
Ответ
P = 0,1151
3.Вероятность
Ответ: Var(X) = 1,55
Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σY = |a|·σX; прибавление константы не меняет разброс.
Среднее
μ = 1·0,25 + 2·0,3 + 3·0,25 + 4·0,1 + 5·0,1 = 2,5
Среднее квадратов
E(X²) = 1·0,25 + 4·0,3 + 9·0,25 + 16·0,1 + 25·0,1 = 7,8
Дисперсия
Var(X) = 7,8 − 2,5² = 1,55
Ответ
Var(X) = 1,55
4.Вероятность
Ответ: P = 0,01094
Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Ноль и один отказ
P(X = 0) = 0,36 = 0,000729
P(X = 1) = 6·0,7·0,35 = 0,01021
Сложите
P = 0,000729 + 0,01021 = 0,01094
Ответ
P = 0,01094
5.Нормальное распределение
Ответ: P = 0,3214
Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.
z-оценки
z₁ = (250,25 − 250)/5 = 0,05
z₂ = (255 − 250)/5 = 1
Площадь между
P = Φ(1) − Φ(0,05) = 0,8413 − 0,5199 = 0,3214
Ответ
P = 0,3214
6.Нормальное распределение
Ответ: x = 241,8 g
Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.
z для процентиля
Φ(z) = 0,05 → z = −1,645
Обратно к x
x = 250 + −1,645·5 = 241,78 g
Ответ
x = 241,78 g
7.Доверительные интервалы
Ответ: нижняя граница = 66
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Критическое значение
df = n − 1 = 14, t = 1,761
Предельная ошибка
E = 1,761·16,5/√15 = 7,502
Интервал
73,5 ± 7,502 → [66, 81]
Ответ
нижняя граница = 66
8.Доверительные интервалы
Ответ: σ = 1,669 µm
Интервал для дисперсии: (n − 1)s²/σ² имеет распределение χ² с n − 1 степенями свободы. 95 % интервал для σ² простирается от (n − 1)s², делённого на верхнее значение χ² (выше него 2,5 %), до (n − 1)s², делённого на нижнее значение χ² (ниже него 2,5 %); интервал для σ получают извлечением квадратного корня из обеих границ. Он несимметричен относительно s.
Сумма квадратов
(n − 1)s² = 24·1,2² = 34,56
Границы для σ²
34,56/39,364 = 0,878
34,56/12,401 = 2,787
Граница для σ
σ = √2,787 = 1,669 µm
Ответ
σ = 1,669 µm
95 % интервал для σ: [0,937, 1,669] µm.
9.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = 2,4
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Стандартная ошибка
SE = 4/√25 = 4/5 = 0,8
Статистика критерия
t = (51,92 − 50)/0,8 = 2,4
Ответ
t = 2,4
t0,025; df = 24 = 2,064
|t| > 2,064, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).
10.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: U = 203,6
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Предельная ошибка
E = 2,576·8/√100 = 2,061
Граница интервала
U = 201,5 + 2,061 = 203,6
Ответ
U = 203,6
11.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: r = −0,9307
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Центрированные суммы
Sxy = 375 − 21·114/6 = −24
Sxx = 91 − 21²/6 = 17,5
Syy = 2204 − 114²/6 = 38
Коэффициент корреляции
r = −24/√(17,5·38) = −0,9307
Ответ
r = −0,9307
12.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: x = 21,96
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 120/6 = 20
ȳ = 304/6 = 50,67
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 190
Линия регрессии
b = 190/70 = 2,714
a = 50,67 − 2,714·20 = −3,619
ŷ = −3,619 + 2,714·x
Найдите x
x = (56 − (−3,619))/2,714 = 21,96
Ответ
x = 21,96
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1