Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 27, 29, 14, 38, 42.

n = 5

s =

2.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 70 и стандартным отклонением 5. Найдите z-оценку z для результата 64.

μ = 70σ = 5x = 64

z =

3.ВероятностьСредняя

В мешочке 6 красных и 3 синих шаров. Вы вынимаете два шара, не возвращая первый. Какова вероятность P, что оба красные?

6 / 3

P =

4.ВероятностьСложная

Испытывают 9 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,2. Какова вероятность P, что откажет не более одного?

n = 9p = 0,2

P =

5.Нормальное распределениеСредняя

Массы объектов (мешки с цементом) независимы и нормально распределены со средним 25 kg и стандартным отклонением 0,5 kg. Найдите вероятность P того, что общая масса 6 из них меньше 149,4 kg. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 6< 149.4 kg

P =

6.Нормальное распределениеСложная

Пусть сроки доставки распределены нормально со средним 32 min и стандартным отклонением 6 min. Найдите значение x, ниже которого лежат 75 % значений (75-й процентиль).

μ = 32σ = 6P = 75%

x = min

7.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 16 элементов имеет среднее 78,5 и стандартное отклонение s = 9. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите предельную ошибку E 99 % доверительного интервала для среднего.

n = 16x̄ = 78,5s = 999%t(15) = 2,947

E =

8.Доверительные интервалыСложная

Диаметры 30 обработанных валов имеют выборочное стандартное отклонение 8,5 µm. Считая диаметры нормально распределёнными, найдите границу 95 % доверительного интервала для стандартного отклонения генеральной совокупности — нижняя граница σ. При df = 29 2,5 % распределения χ² лежит ниже 16,047 и 2,5 % — выше 45,722.

n = 30s = 8,5 µmχ² = 16,047, 45,722

σ = µm

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Две производственные линии изготавливают одну и ту же деталь. Линия 1: выборка из 40 деталей имеет среднюю длину 70,5 mm, известное стандартное отклонение линии 9 mm. Линия 2: выборка из 50 деталей имеет среднее 73,6 mm, известное стандартное отклонение 9 mm. Найдите статистику критерия z для H₀: μ₁ = μ₂, принимая разность как x̄₁ − x̄₂ (линия 1 минус линия 2).

n₁ = 40x̄₁ = 70,5 mmσ₁ = 9 mmn₂ = 50x̄₂ = 73,6 mmσ₂ = 9 mm

z =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Односторонний z-критерий при α = 0,05 должен обнаруживать сдвиг среднего на 1 единиц с мощностью 80 %. Стандартное отклонение равно 6. Найдите минимальный объём выборки n.

α = 0,05мощность = 80%δ = 1σ = 6z_α = 1,645z_β = 0,842

n =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 6

r =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 4,5.

n = 5x = 4,5

ŷ =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 10,89

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 150/5 = 30

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−3)² + (−1)² + (−16)² + 8² + 12² = 474

Стандартное отклонение

s = √(474/4) = 10,89

Ответ

s = 10,89

2.Описательная статистика

Ответ: z = −1,2

Стандартизуйте

z = (64 − 70)/5 = −1,2

Ответ

z = −1,2

3.Вероятность

Ответ: P = 0,4167

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Первое и второе извлечение

P = 6/9 · 5/8 = 30/72 = 0,4167

Ответ

P = 0,4167

4.Вероятность

Ответ: P = 0,4362

Ноль и один отказ

P(X = 0) = 0,8⁹ = 0,1342

P(X = 1) = 9·0,2·0,8⁸ = 0,302

Сложите

P = 0,1342 + 0,302 = 0,4362

Ответ

P = 0,4362

5.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,3121

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ_T = 150 kg, σ_T = 0,5·√6 = 1,225 kg

Стандартизуйте

z = (149,4 − 150)/1,225 = −0,49

Вероятность

P = Φ(−0,49) = 0,3121

Ответ

P = 0,3121

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 36,05 min

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z для процентиля

Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745

Обратно к x

x = 32 + 0,6745·6 = 36,05 min

Ответ

x = 36,05 min

7.Доверительные интервалы

Ответ: E = 6,631

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 15, t = 2,947

Предельная ошибка

E = 2,947·9/√16 = 6,631

Ответ

E = 6,631

8.Доверительные интервалы

Ответ: σ = 6,769 µm

Интервал для дисперсии: (n − 1)s²/σ² имеет распределение χ² с n − 1 степенями свободы. 95 % интервал для σ² простирается от (n − 1)s², делённого на верхнее значение χ² (выше него 2,5 %), до (n − 1)s², делённого на нижнее значение χ² (ниже него 2,5 %); интервал для σ получают извлечением квадратного корня из обеих границ. Он несимметричен относительно s.

Сумма квадратов

(n − 1)s² = 29·8,5² = 2095

Границы для σ²

2095/45,722 = 45,83

2095/16,047 = 130,6

Граница для σ

σ = √45,83 = 6,769 µm

Ответ

σ = 6,769 µm

95 % интервал для σ: [6,769, 11,43] µm.

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = −1,624

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Стандартная ошибка разности

SE = √(9²/40 + 9²/50) = √3,645 = 1,909

Статистика критерия

z = (70,5 − 73,6)/1,909 = −1,624

Ответ

z = −1,624

|z| < 1.96, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 223

Объём выборки для критерия: чтобы обнаружить истинный сдвиг δ с мощностью 1 − β одностронним z-критерием на уровне α, стандартная ошибка должна удовлетворять δ = (z_α + z_β)·σ/√n, поэтому n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² с округлением вверх.

Выразите n

n = ((1,645 + 0,842)·6/1)² = 222,7

Округлите вверх

n = 223

Ответ

n = 223

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9898

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 157/6 = 26,17

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 241

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 846,8

Коэффициент корреляции

r = 241/√(70·846,8) = 0,9898

Ответ

r = 0,9898

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: ŷ = 62,4

Средние

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 320/5 = 64

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 32

Линия регрессии

b = 32/10 = 3,2

a = 64 − 3,2·5 = 48

ŷ = 48 + 3,2·x

Прогноз

ŷ = 48 + 3,2·4,5 = 62,4

Ответ

ŷ = 62,4

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1