Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 32, 25, 56, 45, 25.

n = 5

s =

2.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 170 и стандартным отклонением 15. Какая доля P значений больше 152?

μ = 170σ = 15x = 152

P =

3.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите дисперсию Var(X) величины X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,3, 0,3, 0,25, 0,15

Var(X) =

4.ВероятностьСложная

В тесте 11 вопросов с вариантами ответов. Студентка, которая угадывает, отвечает верно на каждый с вероятностью 0,3, независимо. Какова вероятность P ровно 5 верных ответов?

n = 11p = 0,3k = 5

P =

5.Нормальное распределениеСредняя

Пусть результаты IQ-тестов распределены нормально со средним 100 баллов и стандартным отклонением 15 баллов. Какая доля значений лежит между 82 и 127,75 баллов? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 100σ = 15x₁ = 82x₂ = 127,75

P =

6.Нормальное распределениеСложная

Диаметры отверстий D нормально распределены со средним 25,03 mm и стандартным отклонением 0,015 mm. Диаметры валов d независимы и нормально распределены со средним 25 mm и стандартным отклонением 0,01 mm. Случайно выбранный вал подходит, если D − d > 0. Найдите вероятность P того, что он подходит. Округлите z до двух знаков после запятой.

отверстие: μ = 25,03 mm, σ = 0,015 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm

P =

7.Доверительные интервалыСредняя

Сравнивается время работы аккумулятора двух моделей телефонов. Модель 1: 80 телефонов, среднее 107,5 h, известное стандартное отклонение 9 h. Модель 2: 100 телефонов, среднее 98,5 h, известное стандартное отклонение 17 h. Найдите нижнюю границу 90 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 80x̄₁ = 107,5 hσ₁ = 9 hn₂ = 100x̄₂ = 98,5 hσ₂ = 17 h90%

нижняя граница = h

8.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 24. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 99 % доверительного интервала для среднего не превышала 4?

σ = 24E = 499%

n =

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 25 студентов имеет средний балл 502,4 и выборочное стандартное отклонение 10. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 502,4s = 10n = 25

t =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

В исследовании выздоравливают 24 из 120 пациентов, получавших лечение A, и 68 из 200 пациентов, получавших лечение B. Используя объединённую долю, найдите статистику критерия z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 24n₁ = 120x₂ = 68n₂ = 200

z =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5Σx = 15Σy = 111Σx² = 55Σy² = 2525Σxy = 309

r =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (3,5, 61). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 6(3,5, 61)

e =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 13,58

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 183/5 = 36,6

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−4,6)² + (−11,6)² + 19,4² + 8,4² + (−11,6)² = 737,2

Стандартное отклонение

s = √(737,2/4) = 13,58

Ответ

s = 13,58

2.Описательная статистика

Ответ: P = 0,8849

Стандартизуйте

z = −1,2

Таблица нормального распределения

Φ(−1,2) = 0,1151

P = 1 − 0,1151 = 0,8849

Ответ

P = 0,8849

3.Вероятность

Ответ: Var(X) = 108,8

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 10·0,3 + 20·0,3 + 30·0,25 + 40·0,15 = 22,5

Среднее квадратов

E(X²) = 100·0,3 + 400·0,3 + 900·0,25 + 1600·0,15 = 615

Дисперсия

Var(X) = 615 − 22,5² = 108,8

Ответ

Var(X) = 108,8

4.Вероятность

Ответ: P = 0,1321

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Формула Бернулли

P(X = 5) = 462·0,3⁵·0,7⁶ = 462·0,00243·0,1176 = 0,1321

Ответ

P = 0,1321

5.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,8528

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (82 − 100)/15 = −1,2

z₂ = (127,75 − 100)/15 = 1,85

Площадь между

P = Φ(1,85) − Φ(−1,2) = 0,9678 − 0,1151 = 0,8528

Ответ

P = 0,8528

6.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,9515

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение разности

μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,01803 mm

Стандартизуйте

z = (0 − 0,03)/0,01803 = −1,66

Вероятность

P = 1 − Φ(−1,66) = 0,9515

Ответ

P = 0,9515

7.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = 5,75 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точечная оценка

x̄₁ − x̄₂ = 107,5 − 98,5 = 9

Стандартная ошибка

SE = √(9²/80 + 17²/100) = 1,975

Предельная ошибка

E = 1,645·1,975 = 3,25

Интервал

9 ± 3,25 → [5,75, 12,25]

Ответ

нижняя граница = 5,75 h

Интервал не содержит 0, поэтому средние значимо различаются.

8.Доверительные интервалы

Ответ: n = 239

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Выразите n

n = (2,576·24/4)² = 238,9

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 239

Ответ

n = 239

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 1,2

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 10/√25 = 10/5 = 2

Статистика критерия

t = (502,4 − 500)/2 = 1,2

Ответ

t = 1,2

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| < 2.064, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = −2,679

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Выборочные доли

p̂₁ = 24/120 = 0,2

p̂₂ = 68/200 = 0,34

p̂ = 92/320 = 0,2875

Стандартная ошибка при H₀

SE = √(0,2875·0,7125·(1/120 + 1/200)) = 0,05226

Статистика критерия

z = (0,2 − 0,34)/0,05226 = −2,679

Ответ

z = −2,679

|z| > 1,96, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = −0,9733

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Центрированные суммы

S_xy = 309 − 15·111/5 = −24

S_xx = 55 − 15²/5 = 10

S_yy = 2525 − 111²/5 = 60,8

Коэффициент корреляции

r = −24/√(10·60,8) = −0,9733

Ответ

r = −0,9733

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = 4,719

Средние

x̄ = 33/6 = 5,5

ȳ = 373/6 = 62,17

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 51,5

Линия регрессии

b = 51,5/17,5 = 2,943

a = 62,17 − 2,943·5,5 = 45,98

ŷ = 45,98 + 2,943·x

Прогнозируемое значение

ŷ = 45,98 + 2,943·3,5 = 56,28

Остаток

e = 61 − 56,28 = 4,719

Ответ

e = 4,719

Точка лежит выше прямой.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1