Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 40, 53, 37, 31, 59, 48.

n = 6

s =

2.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 170 и стандартным отклонением 20. Какая доля P значений меньше 154?

μ = 170σ = 20x = 154

P =

3.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите стандартное отклонение σ величины X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,35, 0,25, 0,25, 0,15

σ =

4.ВероятностьСложная

X имеет показанное распределение, а Y = −2X + 20. Найдите стандартное отклонение σ_Y величины Y.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,2, 0,3, 0,2, 0,3Y = −2X + 20

σ_Y =

5.Нормальное распределениеСредняя

Массы объектов (болты) независимы и нормально распределены со средним 40 g и стандартным отклонением 1,2 g. Найдите вероятность P того, что общая масса 12 из них превышает 475,8 g. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ = 40 gσ = 1,2 gn = 12> 475,8 g

P =

6.Нормальное распределениеСложная

Диаметры отверстий D нормально распределены со средним 25,02 mm и стандартным отклонением 0,015 mm. Диаметры валов d независимы и нормально распределены со средним 25 mm и стандартным отклонением 0,01 mm. Случайно выбранный вал подходит, если D − d > 0. Найдите вероятность P того, что он подходит. Округлите z до двух знаков после запятой.

отверстие: μ = 25,02 mm, σ = 0,015 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm

P =

7.Доверительные интервалыСредняя

У 15 пациентов измеряют артериальное давление до и после лечения. Разности d = до − после (mmHg) имеют среднее 4,4 и стандартное отклонение 4,3. Найдите верхнюю границу 90 % доверительного интервала для средней разности.

n = 15d̄ = 4,4s_d = 4,390%t(14) = 1,761

верхняя граница = mmHg

8.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 23. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 99 % доверительного интервала для среднего не превышала 4?

σ = 23E = 499%

n =

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 100 студентов имеет средний балл 47,9 и выборочное стандартное отклонение 15. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 47,9s = 15n = 100

t =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

В исследовании выздоравливают 38 из 150 пациентов, получавших лечение A, и 54 из 150 пациентов, получавших лечение B. Используя объединённую долю, найдите статистику критерия z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 38n₁ = 150x₂ = 54n₂ = 150

z =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 6

r =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 10?

n = 5ŷ = 10

x =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 10,52

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 268/6 = 44,67

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−4,667)² + 8,333² + (−7,667)² + (−13,67)² + 14,33² + 3,333² = 553,3

Стандартное отклонение

s = √(553,3/5) = 10,52

Ответ

s = 10,52

2.Описательная статистика

Ответ: P = 0,2119

Стандартизуйте

z = −0,8

Таблица нормального распределения

Φ(−0,8) = 0,2119

P = 0,2119

Ответ

P = 0,2119

3.Вероятность

Ответ: σ = 1,077

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 1·0,35 + 2·0,25 + 3·0,25 + 4·0,15 = 2,2

Среднее квадратов

E(X²) = 1·0,35 + 4·0,25 + 9·0,25 + 16·0,15 = 6

Дисперсия

Var(X) = 6 − 2,2² = 1,16

σ = √1,16 = 1,077

Ответ

σ = 1,077

4.Вероятность

Ответ: σ_Y = 2,227

Разброс X

μ = 1,6, Var(X) = 1,24, σ_X = 1,114

Линейное преобразование

σ_Y = |−2|·1,114 = 2,227

Ответ

σ_Y = 2,227

Среднее действительно сдвигается: E(Y) = −2·1,6 + 20 = 16,8.

5.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,8438

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ_T = 480 g, σ_T = 1,2·√12 = 4,157 g

Стандартизуйте

z = (475,8 − 480)/4,157 = −1,01

Вероятность

P = 1 − Φ(−1,01) = 0,8438

Ответ

P = 0,8438

6.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,8665

Распределение разности

μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,01803 mm

Стандартизуйте

z = (0 − 0,02)/0,01803 = −1,11

Вероятность

P = 1 − Φ(−1,11) = 0,8665

Ответ

P = 0,8665

7.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = 6,355 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Критическое значение

df = 14, t = 1,761

Предельная ошибка

E = 1,761·4,3/√15 = 1,955

Интервал

4,4 ± 1,955 → [2,445, 6,355]

Ответ

верхняя граница = 6,355 mmHg

8.Доверительные интервалы

Ответ: n = 220

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Выразите n

n = (2,576·23/4)² = 219,4

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 220

Ответ

n = 220

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −1,4

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 15/√100 = 15/10 = 1,5

Статистика критерия

t = (47,9 − 50)/1,5 = −1,4

Ответ

t = −1,4

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| < 1.984, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = −2,003

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Выборочные доли

p̂₁ = 38/150 = 0,2533

p̂₂ = 54/150 = 0,36

p̂ = 92/300 = 0,3067

Стандартная ошибка при H₀

SE = √(0,3067·0,6933·(1/150 + 1/150)) = 0,05324

Статистика критерия

z = (0,2533 − 0,36)/0,05324 = −2,003

Ответ

z = −2,003

|z| > 1,96, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9632

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 114/6 = 19

ȳ = 559/6 = 93,17

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 369

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 2097

Коэффициент корреляции

r = 369/√(70·2097) = 0,9632

Ответ

r = 0,9632

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 5

Средние

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 61/5 = 12,2

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 88

Линия регрессии

b = 88/40 = 2,2

a = 12,2 − 2,2·6 = −1

ŷ = −1 + 2,2·x

Найдите x

x = (10 − (−1))/2,2 = 5

Ответ

x = 5

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1