Описательная статистика
- Среднее
- x̄ = Σx/n
- Выборочное стандартное отклонение
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Медиана
- срединное значение упорядоченных данных
- z-оценка
- z = (x − μ)/σ
- Нормальное распределение
- 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ
Основы статистики: шпаргалка-пакет
Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.
1Формулы и методы
Вероятность
- Противоположное событие
- P(not A) = 1 − P(A)
- Правило сложения
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Независимые события
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Условная вероятность
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Биномиальное распределение
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Нормальное распределение
- z-оценка
- z = (x − μ)/σ
- Меньше x
- P(X < x) = Φ(z)
- Больше x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Между
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Процентиль
- x = μ + z·σ
Метод
- Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
- Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
- Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
- Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.
Доверительные интервалы
- σ известно
- x̄ ± z·σ/√n
- σ неизвестно
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Критическое значение z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Объём выборки
- n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
- Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
- Найдите критическое значение для уровня доверия.
- Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
- Интервал: x̄ ± E.
Проверка гипотез и доверительные интервалы
- z-тест для среднего
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t-тест для среднего
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Двусторонний на уровне 5%
- отвергните H0, если |z| > 1,96
- Доверительный интервал
- x̄ ± z·σ/√n
Метод
- Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
- Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
- Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
- Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.
Линейная регрессия и корреляция
- Суммы квадратов
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Угловой коэффициент
- b = Sxy/Sxx
- Свободный член
- a = ȳ − b·x̄
- Корреляция
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Остаток
- e = y − ŷ
2Тренировочные задачи
1.Описательная статистикаСредняя
Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 52, 51, 53, 13, 58, 25.
n = 6
s =
2.Описательная статистикаСложная
Величина распределена нормально со средним 170 и стандартным отклонением 8. Какая доля P значений меньше 163,6?
μ = 170σ = 8x = 163,6
P =
3.ВероятностьСредняя
Для показанного распределения найдите дисперсию Var(X) величины X.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,2, 0,2, 0,25, 0,35
Var(X) =
4.ВероятностьСложная
Игра стоит €10. Вы выигрываете €20 с вероятностью 0,1 и €100 с вероятностью 0,01; в остальных случаях вы ничего не выигрываете. Ставка не возвращается. Найдите ожидаемый чистый выигрыш E(G) за одну игру.
ставка = €10€20: p = 0,1€100: p = 0,01
E(G) = €
5.Нормальное распределениеСредняя
Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь под стандартной нормальной кривой справа от z была равна 0,6985. Найдите z с точностью до двух знаков.
A = 0,6985
z =
6.Нормальное распределениеСложная
Распределение «баллы за экзамен» нормальное: среднее 65 баллов, стандартное отклонение 10 баллов. Перетащите границу так, чтобы закрашенные верхние 30% были справа от неё. Найдите границу x.
μ = 65 балловσ = 10 баллов30%
x = баллов
7.Доверительные интервалыСредняя
95 % доверительный интервал для среднего, построенный по 25 наблюдениям при известном σ, имеет предельную ошибку 8,1. Какой будет предельная ошибка E₂ 99 % интервала по тем же данным?
95%n₁ = 25E₁ = 8,199%
E₂ =
8.Доверительные интервалыСложная
Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 12. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 99 % доверительного интервала для среднего не превышала 4?
σ = 12E = 499%
n =
9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
6 сотрудников проходят тест на скорость печати до и после обучающего курса. Для каждого записывается разность d = после − до (слов в минуту). Средняя разность равна 11,1, стандартное отклонение разностей — 8,5. Найдите статистику парного критерия t для H₀: μd = 0.
n = 6d̄ = 11,1sd = 8,5
t =
10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
Выборка из 25 измерений имеет среднее 77. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 4. Найдите нижнюю границу L 90 % доверительного интервала для среднего.
x̄ = 77σ = 4n = 2590%
L =
11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
В таблице даны 6 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.
n = 6
r =
12.Линейная регрессия и корреляцияСложная
В таблице даны 5 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (9, 86). Найдите его остаток e = y − ŷ.
n = 5(9, 86)
e =
3Растворы
1.Описательная статистика
Ответ: s = 18,37
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Среднее
x̄ = 252/6 = 42
Квадраты отклонений
Σ(x − x̄)² = 10² + 9² + 11² + (−29)² + 16² + (−17)² = 1688
Стандартное отклонение
s = √(1688/5) = 18,37
Ответ
s = 18,37
2.Описательная статистика
Ответ: P = 0,2119
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = −0,8
Таблица нормального распределения
Φ(−0,8) = 0,2119
P = 0,2119
Ответ
P = 0,2119
3.Вероятность
Ответ: Var(X) = 5,15
Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σY = |a|·σX; прибавление константы не меняет разброс.
Среднее
μ = 0·0,2 + 2·0,2 + 4·0,25 + 6·0,35 = 3,5
Среднее квадратов
E(X²) = 0·0,2 + 4·0,2 + 16·0,25 + 36·0,35 = 17,4
Дисперсия
Var(X) = 17,4 − 3,5² = 5,15
Ответ
Var(X) = 5,15
4.Вероятность
Ответ: E(G) = −7 €
Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σY = |a|·σX; прибавление константы не меняет разброс.
Чистые исходы
G: 10 (p = 0,1), 90 (p = 0,01), −10 (p = 0,89)
Математическое ожидание
E(G) = 10·0,1 + 90·0,01 − 10·0,89 = −7 €
Ответ
E(G) = −7 €
Отрицательное значение означает, что в среднем вы теряете деньги.
5.Нормальное распределение
Ответ: z = −0,52
От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.
Площадь слева от z
Φ(z) = 1 − 0,6985 = 0,3015
Читайте таблицу z в обратную сторону
Найдите 0,3015 внутри таблицы и считайте z.
z = −0,52
Ответ
z = −0,52
6.Нормальное распределение
Ответ: x = 70,2 баллов
От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.
Площадь слева
Φ(z) = 0,7
z из таблицы
z ≈ 0,52
Возврат к исходным единицам
x = 65 + 0,52·10 = 70,2 баллов
Ответ
x = 70,2 баллов
7.Доверительные интервалы
Ответ: E₂ = 10,65
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Отношение предельных ошибок
E₂/E₁ = (2,576/1,96)·√(25/25) = 1,314
Новая предельная ошибка
E₂ = 8,1·1,314 = 10,65
Ответ
E₂ = 10,65
8.Доверительные интервалы
Ответ: n = 60
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Выразите n
n = (2,576·12/4)² = 59,72
Округлите вверх
Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.
n = 60
Ответ
n = 60
9.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = 3,199
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Стандартная ошибка средней разности
SE = 8,5/√6 = 3,47
Статистика критерия
t = 11,1/3,47 = 3,199
Ответ
t = 3,199
При df = 5 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,571; |t| больше, поэтому H₀ отвергается.
10.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: L = 75,68
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Предельная ошибка
E = 1,645·4/√25 = 1,316
Граница интервала
L = 77 − 1,316 = 75,68
Ответ
L = 75,68
11.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: r = −0,9917
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 89/6 = 14,83
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −58,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 198,8
Коэффициент корреляции
r = −58,5/√(17,5·198,8) = −0,9917
Ответ
r = −0,9917
12.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: e = 1,85
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 339/5 = 67,8
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 218
Линия регрессии
b = 218/40 = 5,45
a = 67,8 − 5,45·6 = 35,1
ŷ = 35,1 + 5,45·x
Прогнозируемое значение
ŷ = 35,1 + 5,45·9 = 84,15
Остаток
e = 86 − 84,15 = 1,85
Ответ
e = 1,85
Точка лежит выше прямой.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1