Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 18, 34, 29, 54, 51, 58, 45.

n = 7

s =

2.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 100 и стандартным отклонением 10. Найдите z-оценку z для результата 85.

μ = 100σ = 10x = 85

z =

3.ВероятностьСредняя

В мешочке 7 красных и 9 синих шаров. Вы вынимаете два шара, не возвращая первый. Какова вероятность P, что оба красные?

7 / 9

P =

4.ВероятностьСложная

В тесте 9 вопросов с вариантами ответов. Студентка, которая угадывает, отвечает верно на каждый с вероятностью 0,3, независимо. Какова вероятность P ровно 3 верных ответов?

n = 9p = 0,3k = 3

P =

5.Нормальное распределениеСредняя

Массы объектов (мешки с цементом) независимы и нормально распределены со средним 25 kg и стандартным отклонением 0,5 kg. Найдите вероятность P того, что общая масса 16 из них превышает 401 kg. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 16> 401 kg

P =

6.Нормальное распределениеСложная

Диаметры отверстий D нормально распределены со средним 25,03 mm и стандартным отклонением 0,015 mm. Диаметры валов d независимы и нормально распределены со средним 25 mm и стандартным отклонением 0,02 mm. Случайно выбранный вал подходит, если D − d > 0. Найдите вероятность P того, что он подходит. Округлите z до двух знаков после запятой.

отверстие: μ = 25,03 mm, σ = 0,015 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm

P =

7.Доверительные интервалыСредняя

Сравнивается время работы аккумулятора двух моделей телефонов. Модель 1: 60 телефонов, среднее 106,5 h, известное стандартное отклонение 11 h. Модель 2: 60 телефонов, среднее 98 h, известное стандартное отклонение 12 h. Найдите верхнюю границу 95 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 60x̄₁ = 106,5 hσ₁ = 11 hn₂ = 60x̄₂ = 98 hσ₂ = 12 h95%

верхняя граница = h

8.Доверительные интервалыСложная

Диаметры 20 обработанных валов имеют выборочное стандартное отклонение 3 µm. Считая диаметры нормально распределёнными, найдите границу 95 % доверительного интервала для стандартного отклонения генеральной совокупности — верхняя граница σ. При df = 19 2,5 % распределения χ² лежит ниже 8,907 и 2,5 % — выше 32,852.

n = 20s = 3 µmχ² = 8,907, 32,852

σ = µm

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Утверждается, что среднее генеральной совокупности равно 80; стандартное отклонение генеральной совокупности известно и равно 25. Случайная выборка из 100 наблюдений имеет среднее 74,85. Проверьте H₀: μ = 80 против H₁: μ < 80. Найдите p-значение p.

μ₀ = 80σ = 25n = 100x̄ = 74,85H₁: μ < μ₀

p =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Выборка из 64 измерений имеет среднее 50,8. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 20. Найдите нижнюю границу L 99 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 50,8σ = 20n = 6499%

L =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 6

r² =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 11?

n = 5ŷ = 11

x =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 14,69

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 289/7 = 41,29

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−23,29)² + (−7,286)² + (−12,29)² + 12,71² + 9,714² + 16,71² + 3,714² = 1295

Стандартное отклонение

s = √(1295/6) = 14,69

Ответ

s = 14,69

2.Описательная статистика

Ответ: z = −1,5

Стандартизуйте

z = (85 − 100)/10 = −1,5

Ответ

z = −1,5

3.Вероятность

Ответ: P = 0,175

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Первое и второе извлечение

P = 7/16 · 6/15 = 42/240 = 0,175

Ответ

P = 0,175

4.Вероятность

Ответ: P = 0,2668

Формула Бернулли

P(X = 3) = 84·0,3³·0,7⁶ = 84·0,027·0,1176 = 0,2668

Ответ

P = 0,2668

5.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,3085

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ_T = 400 kg, σ_T = 0,5·√16 = 2 kg

Стандартизуйте

z = (401 − 400)/2 = 0,5

Вероятность

P = 1 − Φ(0,5) = 0,3085

Ответ

P = 0,3085

6.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,8849

Распределение разности

μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,025 mm

Стандартизуйте

z = (0 − 0,03)/0,025 = −1,2

Вероятность

P = 1 − Φ(−1,2) = 0,8849

Ответ

P = 0,8849

7.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = 12,62 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точечная оценка

x̄₁ − x̄₂ = 106,5 − 98 = 8,5

Стандартная ошибка

SE = √(11²/60 + 12²/60) = 2,102

Предельная ошибка

E = 1,96·2,102 = 4,119

Интервал

8,5 ± 4,119 → [4,381, 12,62]

Ответ

верхняя граница = 12,62 h

Интервал не содержит 0, поэтому средние значимо различаются.

8.Доверительные интервалы

Ответ: σ = 4,382 µm

Интервал для дисперсии: (n − 1)s²/σ² имеет распределение χ² с n − 1 степенями свободы. 95 % интервал для σ² простирается от (n − 1)s², делённого на верхнее значение χ² (выше него 2,5 %), до (n − 1)s², делённого на нижнее значение χ² (ниже него 2,5 %); интервал для σ получают извлечением квадратного корня из обеих границ. Он несимметричен относительно s.

Сумма квадратов

(n − 1)s² = 19·3² = 171

Границы для σ²

171/32,852 = 5,205

171/8,907 = 19,2

Граница для σ

σ = √19,2 = 4,382 µm

Ответ

σ = 4,382 µm

95 % интервал для σ: [2,281, 4,382] µm.

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: p = 0,0197

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Статистика критерия

SE = σ/√n = 25/√100 = 2,5

z = (74,85 − 80)/2,5 = −2,06

Площадь хвоста

Φ(2,06) = 0,9803

1 − Φ(2,06) = 0,0197

p-значение

p = 0,0197

Ответ

p = 0,0197

p ≤ 0,05, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 %.

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: L = 44,36

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Предельная ошибка

E = 2,576·20/√64 = 6,44

Граница интервала

L = 50,8 − 6,44 = 44,36

Ответ

L = 44,36

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,8876

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 367/6 = 61,17

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 93,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 562,8

Коэффициент детерминации

r² = 93,5²/(17,5·562,8) = 0,8876

Ответ

r² = 0,8876

Прямая объясняет около 88,76% вариации y.

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 4,791

Средние

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 68/5 = 13,6

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 86

Линия регрессии

b = 86/40 = 2,15

a = 13,6 − 2,15·6 = 0,7

ŷ = 0,7 + 2,15·x

Найдите x

x = (11 − 0,7)/2,15 = 4,791

Ответ

x = 4,791

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1