Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 34, 19, 22, 56, 33, 22.

n = 6

s =

2.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 70 и стандартным отклонением 8. Какая доля P значений больше 58?

μ = 70σ = 8x = 58

P =

3.ВероятностьСредняя

Сколькими способами N можно выбрать комиссию из 3 человек из группы из 12 человек? Порядок не важен.

n = 12k = 3

N =

4.ВероятностьСложная

X имеет показанное распределение, а Y = 2X + 10. Найдите стандартное отклонение σ_Y величины Y.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,2, 0,3, 0,3, 0,2Y = 2X + 10

σ_Y =

5.Нормальное распределениеСредняя

Пусть результаты IQ-тестов распределены нормально со средним 100 баллов и стандартным отклонением 15 баллов. Какая доля значений лежит между 85 и 112 баллов? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 100σ = 15x₁ = 85x₂ = 112

P =

6.Нормальное распределениеСложная

Пусть результаты IQ-тестов распределены нормально со средним 100 баллов и стандартным отклонением 15 баллов. Найдите значение x, ниже которого лежат 75 % значений (75-й процентиль).

μ = 100σ = 15P = 75%

x = баллов

7.Доверительные интервалыСредняя

95 % доверительный интервал для среднего, построенный по 100 наблюдениям при известном σ, имеет предельную ошибку 1,6. Какой будет предельная ошибка E₂, если в том же исследовании использовать 200 наблюдений?

95%n₁ = 100E₁ = 1,6n₂ = 200

E₂ =

8.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 37. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 95 % доверительного интервала для среднего не превышала 1?

σ = 37E = 195%

n =

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Сравниваются два метода обучения. Группа 1: 5 студентов, средний балл 28,5, стандартное отклонение 4,5. Группа 2: 12 студентов, средний балл 34,1, стандартное отклонение 9. Считайте дисперсии генеральных совокупностей равными и используйте двухвыборочный t-критерий с объединённой дисперсией. Найдите статистику критерия t для H₀: μ₁ = μ₂, принимая разность как x̄₁ − x̄₂ (группа 1 минус группа 2).

n₁ = 5x̄₁ = 28,5s₁ = 4,5n₂ = 12x̄₂ = 34,1s₂ = 9

t =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Какой должна быть выборка, чтобы 95 % доверительный интервал для среднего имел предельную ошибку не более 2? Стандартное отклонение — 20. Найдите наименьший объём выборки n.

σ = 20E = 295%

n =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 6

r² =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 8.

n = 6x = 8

ŷ =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 13,74

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 186/6 = 31

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 3² + (−12)² + (−9)² + 25² + 2² + (−9)² = 944

Стандартное отклонение

s = √(944/5) = 13,74

Ответ

s = 13,74

2.Описательная статистика

Ответ: P = 0,9332

Стандартизуйте

z = −1,5

Таблица нормального распределения

Φ(−1,5) = 0,06681

P = 1 − 0,06681 = 0,9332

Ответ

P = 0,9332

3.Вероятность

Ответ: N = 220

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Сочетания

C(12, 3) = (12·11·10)/(3·2·1) = 220

Ответ

N = 220

4.Вероятность

Ответ: σ_Y = 2,049

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Разброс X

μ = 2,5, Var(X) = 1,05, σ_X = 1,025

Линейное преобразование

σ_Y = |2|·1,025 = 2,049

Ответ

σ_Y = 2,049

Среднее действительно сдвигается: E(Y) = 2·2,5 + 10 = 15.

5.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,6295

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (85 − 100)/15 = −1

z₂ = (112 − 100)/15 = 0,8

Площадь между

P = Φ(0,8) − Φ(−1) = 0,7881 − 0,1587 = 0,6295

Ответ

P = 0,6295

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 110,1 баллов

z для процентиля

Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745

Обратно к x

x = 100 + 0,6745·15 = 110,12 баллов

Ответ

x = 110,12 баллов

7.Доверительные интервалы

Ответ: E₂ = 1,131

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Отношение предельных ошибок

E₂/E₁ = (1,96/1,96)·√(100/200) = 0,7071

Новая предельная ошибка

E₂ = 1,6·0,7071 = 1,131

Ответ

E₂ = 1,131

8.Доверительные интервалы

Ответ: n = 5260

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Выразите n

n = (1,96·37/1)² = 5259

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 5260

Ответ

n = 5260

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −1,307

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Объединённая дисперсия

s_p² = (4·4,5² + 11·9²)/15 = 64,8

s_p = 8,05

Стандартная ошибка

SE = 8,05·√(1/5 + 1/12) = 4,285

Статистика критерия

t = (28,5 − 34,1)/4,285 = −1,307

Ответ

t = −1,307

При df = 15 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,131; |t| меньше, поэтому H₀ не отвергается.

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 385

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Выразите n

n = (1,96·20/2)² = 384,2

Округлите вверх

n = 385

Ответ

n = 385

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,9589

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 378/6 = 63

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 268

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1070

Коэффициент детерминации

r² = 268²/(70·1070) = 0,9589

Ответ

r² = 0,9589

Прямая объясняет около 95,89% вариации y.

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: ŷ = 92,73

Средние

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 477/6 = 79,5

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 463

Линия регрессии

b = 463/70 = 6,614

a = 79,5 − 6,614·6 = 39,81

ŷ = 39,81 + 6,614·x

Прогноз

ŷ = 39,81 + 6,614·8 = 92,73

Ответ

ŷ = 92,73

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1