Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 33, 43, 54, 16, 27, 24.

n = 6

s =

2.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 500 и стандартным отклонением 50. Какая доля P значений меньше 550?

μ = 500σ = 50x = 550

P =

3.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите стандартное отклонение σ величины X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,3, 0,25, 0,25, 0,2

σ =

4.ВероятностьСложная

В тесте 9 вопросов с вариантами ответов. Студентка, которая угадывает, отвечает верно на каждый с вероятностью 0,6, независимо. Какова вероятность P ровно 2 верных ответов?

n = 9p = 0,6k = 2

P =

5.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь между −z и z под стандартной нормальной кривой была равна 0,9615. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,9615

z =

6.Нормальное распределениеСложная

Пусть значения роста взрослых мужчин распределены нормально со средним 178 cm и стандартным отклонением 7 cm. Найдите значение x, ниже которого лежат 10 % значений (10-й процентиль).

μ = 178σ = 7P = 10%

x = cm

7.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 12 элементов имеет среднее 10,5 и стандартное отклонение s = 16,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите верхнюю границу 90 % доверительного интервала для среднего.

n = 12x̄ = 10,5s = 16,590%t(11) = 1,796

верхняя граница =

8.Доверительные интервалыСложная

Диаметры 21 обработанных валов имеют выборочное стандартное отклонение 4,1 µm. Считая диаметры нормально распределёнными, найдите границу 95 % доверительного интервала для стандартного отклонения генеральной совокупности — нижняя граница σ. При df = 20 2,5 % распределения χ² лежит ниже 9,591 и 2,5 % — выше 34,17.

n = 21s = 4,1 µmχ² = 9,591, 34,17

σ = µm

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Утверждается, что среднее генеральной совокупности равно 500; стандартное отклонение генеральной совокупности известно и равно 5. Случайная выборка из 25 наблюдений имеет среднее 501,04. Проверьте H₀: μ = 500 против H₁: μ > 500. Найдите p-значение p.

μ₀ = 500σ = 5n = 25x̄ = 501,04H₁: μ > μ₀

p =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

В исследовании выздоравливают 98 из 150 пациентов, получавших лечение A, и 63 из 80 пациентов, получавших лечение B. Используя объединённую долю, найдите статистику критерия z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 98n₁ = 150x₂ = 63n₂ = 80

z =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 6

r =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 29?

n = 6ŷ = 29

x =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 13,76

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 197/6 = 32,83

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 0,1667² + 10,17² + 21,17² + (−16,83)² + (−5,833)² + (−8,833)² = 946,8

Стандартное отклонение

s = √(946,8/5) = 13,76

Ответ

s = 13,76

2.Описательная статистика

Ответ: P = 0,8413

Стандартизуйте

z = 1

Таблица нормального распределения

Φ(1) = 0,8413

P = 0,8413

Ответ

P = 0,8413

3.Вероятность

Ответ: σ = 1,108

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 0·0,3 + 1·0,25 + 2·0,25 + 3·0,2 = 1,35

Среднее квадратов

E(X²) = 0·0,3 + 1·0,25 + 4·0,25 + 9·0,2 = 3,05

Дисперсия

Var(X) = 3,05 − 1,35² = 1,227

σ = √1,227 = 1,108

Ответ

σ = 1,108

4.Вероятность

Ответ: P = 0,02123

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Формула Бернулли

P(X = 2) = 36·0,6²·0,4⁷ = 36·0,36·0,001638 = 0,02123

Ответ

P = 0,02123

5.Нормальное распределение

Ответ: z = 2,07

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = (1 + 0,9615)/2 = 0,9808

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,9808 внутри таблицы и считайте z.

z = 2,07

Ответ

z = 2,07

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 169 cm

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z для процентиля

Φ(z) = 0,1 → z = −1,282

Обратно к x

x = 178 + −1,282·7 = 169,03 cm

Ответ

x = 169,03 cm

7.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = 19,05

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 11, t = 1,796

Предельная ошибка

E = 1,796·16,5/√12 = 8,555

Интервал

10,5 ± 8,555 → [1,945, 19,05]

Ответ

верхняя граница = 19,05

8.Доверительные интервалы

Ответ: σ = 3,137 µm

Интервал для дисперсии: (n − 1)s²/σ² имеет распределение χ² с n − 1 степенями свободы. 95 % интервал для σ² простирается от (n − 1)s², делённого на верхнее значение χ² (выше него 2,5 %), до (n − 1)s², делённого на нижнее значение χ² (ниже него 2,5 %); интервал для σ получают извлечением квадратного корня из обеих границ. Он несимметричен относительно s.

Сумма квадратов

(n − 1)s² = 20·4,1² = 336,2

Границы для σ²

336,2/34,17 = 9,839

336,2/9,591 = 35,05

Граница для σ

σ = √9,839 = 3,137 µm

Ответ

σ = 3,137 µm

95 % интервал для σ: [3,137, 5,921] µm.

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: p = 0,1492

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Статистика критерия

SE = σ/√n = 5/√25 = 1

z = (501,04 − 500)/1 = 1,04

Площадь хвоста

Φ(1,04) = 0,8508

1 − Φ(1,04) = 0,1492

p-значение

p = 0,1492

Ответ

p = 0,1492

p > 0,05, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 %.

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = −2,115

Выборочные доли

p̂₁ = 98/150 = 0,6533

p̂₂ = 63/80 = 0,7875

p̂ = 161/230 = 0,7

Стандартная ошибка при H₀

SE = √(0,7·0,3·(1/150 + 1/80)) = 0,06344

Статистика критерия

z = (0,6533 − 0,7875)/0,06344 = −2,115

Ответ

z = −2,115

|z| > 1,96, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9949

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 153/6 = 25,5

ȳ = 875/6 = 145,8

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 949,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 5783

Коэффициент корреляции

r = 949,5/√(157,5·5783) = 0,9949

Ответ

r = 0,9949

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 9,083

Средние

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 134/6 = 22,33

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 224

Линия регрессии

b = 224/70 = 3,2

a = 22,33 − 3,2·7 = −0,06667

ŷ = −0,06667 + 3,2·x

Найдите x

x = (29 − (−0,06667))/3,2 = 9,083

Ответ

x = 9,083

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1