Описательная статистика
- Среднее
- x̄ = Σx/n
- Выборочное стандартное отклонение
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Медиана
- срединное значение упорядоченных данных
- z-оценка
- z = (x − μ)/σ
- Нормальное распределение
- 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ
Основы статистики: шпаргалка-пакет
Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.
1Формулы и методы
Вероятность
- Противоположное событие
- P(not A) = 1 − P(A)
- Правило сложения
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Независимые события
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Условная вероятность
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Биномиальное распределение
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Нормальное распределение
- z-оценка
- z = (x − μ)/σ
- Меньше x
- P(X < x) = Φ(z)
- Больше x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Между
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Процентиль
- x = μ + z·σ
Метод
- Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
- Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
- Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
- Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.
Доверительные интервалы
- σ известно
- x̄ ± z·σ/√n
- σ неизвестно
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Критическое значение z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Объём выборки
- n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
- Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
- Найдите критическое значение для уровня доверия.
- Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
- Интервал: x̄ ± E.
Проверка гипотез и доверительные интервалы
- z-тест для среднего
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t-тест для среднего
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Двусторонний на уровне 5%
- отвергните H0, если |z| > 1,96
- Доверительный интервал
- x̄ ± z·σ/√n
Метод
- Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
- Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
- Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
- Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.
Линейная регрессия и корреляция
- Суммы квадратов
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Угловой коэффициент
- b = Sxy/Sxx
- Свободный член
- a = ȳ − b·x̄
- Корреляция
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Остаток
- e = y − ŷ
2Тренировочные задачи
1.Описательная статистикаСредняя
Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 30, 15, 58, 58, 24, 23.
n = 6
s =
2.Описательная статистикаСложная
Величина распределена нормально со средним 50 и стандартным отклонением 8. Какая доля P значений меньше 58?
μ = 50σ = 8x = 58
P =
3.ВероятностьСредняя
Правильный кубик бросают 3 раз. Какова вероятность P выбросить хотя бы одну шестёрку?
n = 3
P =
4.ВероятностьСложная
X имеет показанное распределение, а Y = 0,5X + 5. Найдите стандартное отклонение σY величины Y.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,25, 0,3, 0,3, 0,15Y = 0,5X + 5
σY =
5.Нормальное распределениеСредняя
X нормальна со средним 60 s и стандартным отклонением 5 s; Y независима и нормальна со средним 45 s и стандартным отклонением 4 s. Найдите вероятность P того, что X + Y больше 99,9 s. Округлите z до двух знаков после запятой.
μX = 60, σX = 5μY = 45, σY = 4X + Y > 99,9 s
P =
6.Нормальное распределениеСложная
Пусть результаты IQ-тестов распределены нормально со средним 100 баллов и стандартным отклонением 15 баллов. Найдите значение x, ниже которого лежат 75 % значений (75-й процентиль).
μ = 100σ = 15P = 75%
x = баллов
7.Доверительные интервалыСредняя
Выборка из 21 элементов имеет среднее 10,5 и стандартное отклонение s = 9. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите нижнюю границу 99 % доверительного интервала для среднего.
n = 21x̄ = 10,5s = 999%t(20) = 2,845
нижняя граница =
8.Доверительные интервалыСложная
Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 24. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 99 % доверительного интервала для среднего не превышала 5?
σ = 24E = 599%
n =
9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Выборка из 36 студентов имеет средний балл 201,2 и выборочное стандартное отклонение 10. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 201,2s = 10n = 36
t =
10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
Односторонний z-критерий при α = 0,01 должен обнаруживать сдвиг среднего на 2,5 единиц с мощностью 80 %. Стандартное отклонение равно 20. Найдите минимальный объём выборки n.
α = 0,01мощность = 80%δ = 2,5σ = 20zα = 2,326zβ = 0,842
n =
11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
В таблице даны 5 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.
n = 5Σx = 110Σy = 342Σx² = 2510Σy² = 24358Σxy = 7806
r =
12.Линейная регрессия и корреляцияСложная
В таблице даны 6 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (12, 98). Найдите его остаток e = y − ŷ.
n = 6(12, 98)
e =
3Растворы
1.Описательная статистика
Ответ: s = 18,69
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Среднее
x̄ = 208/6 = 34,67
Квадраты отклонений
Σ(x − x̄)² = (−4,667)² + (−19,67)² + 23,33² + 23,33² + (−10,67)² + (−11,67)² = 1747
Стандартное отклонение
s = √(1747/5) = 18,69
Ответ
s = 18,69
2.Описательная статистика
Ответ: P = 0,8413
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = 1
Таблица нормального распределения
Φ(1) = 0,8413
P = 0,8413
Ответ
P = 0,8413
3.Вероятность
Ответ: P = 0,4213
Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Противоположное событие
P(нет шестёрки) = (5/6)3 = 0,5787
P = 1 − 0,5787 = 0,4213
Ответ
P = 0,4213
4.Вероятность
Ответ: σY = 0,5068
Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σY = |a|·σX; прибавление константы не меняет разброс.
Разброс X
μ = 1,35, Var(X) = 1,028, σX = 1,014
Линейное преобразование
σY = |0,5|·1,014 = 0,5068
Ответ
σY = 0,5068
Среднее действительно сдвигается: E(Y) = 0,5·1,35 + 5 = 5,675.
5.Нормальное распределение
Ответ: P = 0,7881
Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σX² + σY², поэтому σ = √(σX² + σY²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).
Распределение суммы
μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s
Стандартизуйте
z = (99,9 − 105)/6,403 = −0,8
Верхний хвост
P = 1 − Φ(−0,8) = 1 − 0,2119 = 0,7881
Ответ
P = 0,7881
6.Нормальное распределение
Ответ: x = 110,1 баллов
Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.
z для процентиля
Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745
Обратно к x
x = 100 + 0,6745·15 = 110,12 баллов
Ответ
x = 110,12 баллов
7.Доверительные интервалы
Ответ: нижняя граница = 4,913
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Критическое значение
df = n − 1 = 20, t = 2,845
Предельная ошибка
E = 2,845·9/√21 = 5,587
Интервал
10,5 ± 5,587 → [4,913, 16,09]
Ответ
нижняя граница = 4,913
8.Доверительные интервалы
Ответ: n = 153
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Выразите n
n = (2,576·24/5)² = 152,9
Округлите вверх
Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.
n = 153
Ответ
n = 153
9.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = 0,72
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Стандартная ошибка
SE = 10/√36 = 10/6 = 1,667
Статистика критерия
t = (201,2 − 200)/1,667 = 0,72
Ответ
t = 0,72
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| < 2.03, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).
10.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: n = 643
Объём выборки для критерия: чтобы обнаружить истинный сдвиг δ с мощностью 1 − β одностронним z-критерием на уровне α, стандартная ошибка должна удовлетворять δ = (z_α + z_β)·σ/√n, поэтому n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² с округлением вверх.
Выразите n
n = ((2,326 + 0,842)·20/2,5)² = 642,3
Округлите вверх
n = 643
Ответ
n = 643
11.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: r = 0,9568
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Центрированные суммы
Sxy = 7806 − 110·342/5 = 282
Sxx = 2510 − 110²/5 = 90
Syy = 24358 − 342²/5 = 965,2
Коэффициент корреляции
r = 282/√(90·965,2) = 0,9568
Ответ
r = 0,9568
12.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: e = 3,524
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 464/6 = 77,33
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 300
Линия регрессии
b = 300/70 = 4,286
a = 77,33 − 4,286·8 = 43,05
ŷ = 43,05 + 4,286·x
Прогнозируемое значение
ŷ = 43,05 + 4,286·12 = 94,48
Остаток
e = 98 − 94,48 = 3,524
Ответ
e = 3,524
Точка лежит выше прямой.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1