Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 43, 60, 41, 23, 26, 58, 52.

n = 7

s =

2.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 170 и стандартным отклонением 15. Какая доля P значений меньше 152?

μ = 170σ = 15x = 152

P =

3.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите стандартное отклонение σ величины X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,35, 0,3, 0,3, 0,05

σ =

4.ВероятностьСложная

Игра стоит €5. Вы выигрываете €20 с вероятностью 0,25 и €250 с вероятностью 0,05; в остальных случаях вы ничего не выигрываете. Ставка не возвращается. Найдите ожидаемый чистый выигрыш E(G) за одну игру.

ставка = €5€20: p = 0,25€250: p = 0,05

E(G) = €

5.Нормальное распределениеСредняя

X нормальна со средним 12 min и стандартным отклонением 1,5 min; Y независима и нормальна со средним 20 min и стандартным отклонением 2 min. Найдите вероятность P того, что X + Y больше 30 min. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ_X = 12, σ_X = 1,5μ_Y = 20, σ_Y = 2X + Y > 30 min

P =

6.Нормальное распределениеСложная

Распределение «сроки службы батареек» нормальное: среднее 500 h, стандартное отклонение 40 h. Перетащите границу так, чтобы закрашенные нижние 10% были слева от неё. Найдите границу x.

μ = 500 hσ = 40 h10%

x = h

7.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 15 элементов имеет среднее 95,5 и стандартное отклонение s = 17. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите нижнюю границу 90 % доверительного интервала для среднего.

n = 15x̄ = 95,5s = 1790%t(14) = 1,761

нижняя граница =

8.Доверительные интервалыСложная

Испытываются два удобрения. Группа участков 1: 13 участков, средний урожай 78 kg, стандартное отклонение 3 kg. Группа участков 2: 8 участков, среднее 81 kg, стандартное отклонение 1,5 kg. Считайте дисперсии равными (объединённый t-критерий, df = n₁ + n₂ − 2). Найдите нижнюю границу 99 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 13x̄₁ = 78s₁ = 3n₂ = 8x̄₂ = 81s₂ = 1,599%t(19) = 2,861

нижняя граница = kg

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 36 студентов имеет средний балл 200,9 и выборочное стандартное отклонение 8. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 200,9s = 8n = 36

t =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Выборка из 100 измерений имеет среднее 117,1. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 12. Найдите верхнюю границу U 99 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 117,1σ = 12n = 10099%

U =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 5

r² =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (25,5, 137). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 6(25,5, 137)

e =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 14,65

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 303/7 = 43,29

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−0,2857)² + 16,71² + (−2,286)² + (−20,29)² + (−17,29)² + 14,71² + 8,714² = 1287

Стандартное отклонение

s = √(1287/6) = 14,65

Ответ

s = 14,65

2.Описательная статистика

Ответ: P = 0,1151

Стандартизуйте

z = −1,2

Таблица нормального распределения

Φ(−1,2) = 0,1151

P = 0,1151

Ответ

P = 0,1151

3.Вероятность

Ответ: σ = 1,841

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 0·0,35 + 2·0,3 + 4·0,3 + 6·0,05 = 2,1

Среднее квадратов

E(X²) = 0·0,35 + 4·0,3 + 16·0,3 + 36·0,05 = 7,8

Дисперсия

Var(X) = 7,8 − 2,1² = 3,39

σ = √3,39 = 1,841

Ответ

σ = 1,841

4.Вероятность

Ответ: E(G) = 12,5 €

Чистые исходы

G: 15 (p = 0,25), 245 (p = 0,05), −5 (p = 0,7)

Математическое ожидание

E(G) = 15·0,25 + 245·0,05 − 5·0,7 = 12,5 €

Ответ

E(G) = 12,5 €

Положительное значение означает, что в среднем вы выигрываете деньги.

5.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,7881

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min

Стандартизуйте

z = (30 − 32)/2,5 = −0,8

Верхний хвост

P = 1 − Φ(−0,8) = 1 − 0,2119 = 0,7881

Ответ

P = 0,7881

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 449 h

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева

Φ(z) = 0,1

z из таблицы

z ≈ −1,28

Возврат к исходным единицам

x = 500 − 1,28·40 = 449 h

Ответ

x = 449 h

7.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = 87,77

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 14, t = 1,761

Предельная ошибка

E = 1,761·17/√15 = 7,73

Интервал

95,5 ± 7,73 → [87,77, 103,2]

Ответ

нижняя граница = 87,77

8.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = −6,281 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Объединённое стандартное отклонение

s_p² = (12·3² + 7·1,5²)/19 = 6,513

s_p = 2,552

Предельная ошибка

E = 2,861·2,552·√(1/13 + 1/8) = 3,281

Интервал

−3 ± 3,281 → [−6,281, 0,281]

Ответ

нижняя граница = −6,281 kg

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 0,675

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 8/√36 = 8/6 = 1,333

Статистика критерия

t = (200,9 − 200)/1,333 = 0,675

Ответ

t = 0,675

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| < 2.03, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: U = 120,2

Предельная ошибка

E = 2,576·12/√100 = 3,091

Граница интервала

U = 117,1 + 3,091 = 120,2

Ответ

U = 120,2

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,9717

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 269/5 = 53,8

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 130

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 434,8

Коэффициент детерминации

r² = 130²/(40·434,8) = 0,9717

Ответ

r² = 0,9717

Прямая объясняет около 97,17% вариации y.

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = −3,514

Средние

x̄ = 135/6 = 22,5

ȳ = 732/6 = 122

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 972

Линия регрессии

b = 972/157,5 = 6,171

a = 122 − 6,171·22,5 = −16,86

ŷ = −16,86 + 6,171·x

Прогнозируемое значение

ŷ = −16,86 + 6,171·25,5 = 140,5

Остаток

e = 137 − 140,5 = −3,514

Ответ

e = −3,514

Точка лежит ниже прямой.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1