Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 34, 14, 37, 12, 22, 41, 23.

n = 7

s =

2.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 170 и стандартным отклонением 8. Найдите z-оценку z для результата 166.

μ = 170σ = 8x = 166

z =

3.ВероятностьСредняя

Правильный кубик бросают 8 раз. Какова вероятность P выбросить хотя бы одну шестёрку?

n = 8

P =

4.ВероятностьСложная

Испытывают 5 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,2. Какова вероятность P, что откажет не более одного?

n = 5p = 0,2

P =

5.Нормальное распределениеСредняя

Массы объектов (пассажиры с багажом) независимы и нормально распределены со средним 85 kg и стандартным отклонением 12 kg. Найдите вероятность P того, что общая масса 10 из них превышает 887,9 kg. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 10> 887,9 kg

P =

6.Нормальное распределениеСложная

Время круга X бегуна A и время круга Y бегуна B независимы и нормально распределены: X имеет среднее 52 s и стандартное отклонение 4 s, Y имеет среднее 48 s и стандартное отклонение 3 s. Найдите вероятность P того, что X больше Y. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

7.Доверительные интервалыСредняя

Сравнивается время работы аккумулятора двух моделей телефонов. Модель 1: 60 телефонов, среднее 114,5 h, известное стандартное отклонение 13 h. Модель 2: 100 телефонов, среднее 118 h, известное стандартное отклонение 18 h. Найдите предельную ошибку E 95 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 60x̄₁ = 114,5 hσ₁ = 13 hn₂ = 100x̄₂ = 118 hσ₂ = 18 h95%

E = h

8.Доверительные интервалыСложная

Диаметры 11 обработанных валов имеют выборочное стандартное отклонение 6 µm. Считая диаметры нормально распределёнными, найдите границу 95 % доверительного интервала для стандартного отклонения генеральной совокупности — верхняя граница σ. При df = 10 2,5 % распределения χ² лежит ниже 3,247 и 2,5 % — выше 20,483.

n = 11s = 6 µmχ² = 3,247, 20,483

σ = µm

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Две производственные линии изготавливают одну и ту же деталь. Линия 1: выборка из 30 деталей имеет среднюю длину 136 mm, известное стандартное отклонение линии 19 mm. Линия 2: выборка из 30 деталей имеет среднее 142 mm, известное стандартное отклонение 3 mm. Найдите статистику критерия z для H₀: μ₁ = μ₂, принимая разность как x̄₁ − x̄₂ (линия 1 минус линия 2).

n₁ = 30x̄₁ = 136 mmσ₁ = 19 mmn₂ = 30x̄₂ = 142 mmσ₂ = 3 mm

z =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Односторонний z-критерий для H₀: μ = 50 против H₁: μ < 50 проводится при α = 0.05 по выборке объёмом 64; стандартное отклонение известно и равно 8. В действительности среднее равно 48.1. Найдите мощность 1 − β критерия в процентах.

μ₀ = 50μ = 48,1σ = 8n = 64α = 0,05

1 − β = %

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 6Σx = 42Σy = 180Σx² = 364Σy² = 6672Σxy = 1558

r =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 13?

n = 5ŷ = 13

x =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 11,36

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 183/7 = 26,14

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 7,857² + (−12,14)² + 10,86² + (−14,14)² + (−4,143)² + 14,86² + (−3,143)² = 774,9

Стандартное отклонение

s = √(774,9/6) = 11,36

Ответ

s = 11,36

2.Описательная статистика

Ответ: z = −0,5

Стандартизуйте

z = (166 − 170)/8 = −0,5

Ответ

z = −0,5

3.Вероятность

Ответ: P = 0,7674

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Противоположное событие

P(нет шестёрки) = (5/6)⁸ = 0,2326

P = 1 − 0,2326 = 0,7674

Ответ

P = 0,7674

4.Вероятность

Ответ: P = 0,7373

Ноль и один отказ

P(X = 0) = 0,8⁵ = 0,3277

P(X = 1) = 5·0,2·0,8⁴ = 0,4096

Сложите

P = 0,3277 + 0,4096 = 0,7373

Ответ

P = 0,7373

5.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,1587

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ_T = 850 kg, σ_T = 12·√10 = 37,95 kg

Стандартизуйте

z = (887,9 − 850)/37,95 = 1

Вероятность

P = 1 − Φ(1) = 0,1587

Ответ

P = 0,1587

6.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,7881

Распределение разности

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

Стандартизуйте

z = (0 − 4)/5 = −0,8

Вероятность

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

Ответ

P = 0,7881

7.Доверительные интервалы

Ответ: E = 4,824 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точечная оценка

x̄₁ − x̄₂ = 114,5 − 118 = −3,5

Стандартная ошибка

SE = √(13²/60 + 18²/100) = 2,461

Предельная ошибка

E = 1,96·2,461 = 4,824

Ответ

E = 4,824 h

Интервал содержит 0, поэтому данные не показывают значимого различия.

8.Доверительные интервалы

Ответ: σ = 10,53 µm

Интервал для дисперсии: (n − 1)s²/σ² имеет распределение χ² с n − 1 степенями свободы. 95 % интервал для σ² простирается от (n − 1)s², делённого на верхнее значение χ² (выше него 2,5 %), до (n − 1)s², делённого на нижнее значение χ² (ниже него 2,5 %); интервал для σ получают извлечением квадратного корня из обеих границ. Он несимметричен относительно s.

Сумма квадратов

(n − 1)s² = 10·6² = 360

Границы для σ²

360/20,483 = 17,58

360/3,247 = 110,9

Граница для σ

σ = √110,9 = 10,53 µm

Ответ

σ = 10,53 µm

95 % интервал для σ: [4,192, 10,53] µm.

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = −1,708

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Стандартная ошибка разности

SE = √(19²/30 + 3²/30) = √12,33 = 3,512

Статистика критерия

z = (136 − 142)/3,512 = −1,708

Ответ

z = −1,708

|z| < 1.96, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: 1 − β = 60,06 %

Мощность критерия: мощность = 1 − β — вероятность отвергнуть H₀, когда она ложна. Найдите границу x̄c по μ₀ и z_α, затем вычислите вероятность оказаться за x̄c при истинном среднем: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Критическое выборочное среднее

SE = 8/√64 = 1

x̄_c = 50 − 1,645·1 = 48,35

z при истинном среднем

z = (48,35 − 48,1)/1 = 0,255

Мощность

мощность = P(Z < 0.255) = 60.06%

1 − β = 60,06%

Ответ

1 − β = 60,06%

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9987

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Центрированные суммы

S_xy = 1558 − 42·180/6 = 298

S_xx = 364 − 42²/6 = 70

S_yy = 6672 − 180²/6 = 1272

Коэффициент корреляции

r = 298/√(70·1272) = 0,9987

Ответ

r = 0,9987

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 3,043

Средние

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 116/5 = 23,2

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 138

Линия регрессии

b = 138/40 = 3,45

a = 23,2 − 3,45·6 = 2,5

ŷ = 2,5 + 3,45·x

Найдите x

x = (13 − 2,5)/3,45 = 3,043

Ответ

x = 3,043

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1