Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 25, 14, 55, 32, 17, 45, 15.

n = 7

s =

2.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 70 и стандартным отклонением 8. Какая доля P значений больше 78?

μ = 70σ = 8x = 78

P =

3.ВероятностьСредняя

Сколькими способами N можно выбрать комиссию из 5 человек из группы из 12 человек? Порядок не важен.

n = 12k = 5

N =

4.ВероятностьСложная

X имеет показанное распределение, а Y = 5X + 5. Найдите стандартное отклонение σ_Y величины Y.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,1, 0,25, 0,3, 0,35Y = 5X + 5

σ_Y =

5.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь между −z и z под стандартной нормальной кривой была равна 0,5035. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,5035

z =

6.Нормальное распределениеСложная

Распределение «баллы за экзамен» нормальное: среднее 65 баллов, стандартное отклонение 10 баллов. Перетащите границу так, чтобы закрашенные верхние 85% были справа от неё. Найдите границу x.

μ = 65 балловσ = 10 баллов85%

x = баллов

7.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 16 элементов имеет среднее 63 и стандартное отклонение s = 15. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите верхнюю границу 90 % доверительного интервала для среднего.

n = 16x̄ = 63s = 1590%t(15) = 1,753

верхняя граница =

8.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 16. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 90 % доверительного интервала для среднего не превышала 1?

σ = 16E = 190%

n =

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Две производственные линии изготавливают одну и ту же деталь. Линия 1: выборка из 100 деталей имеет среднюю длину 57 mm, известное стандартное отклонение линии 11 mm. Линия 2: выборка из 30 деталей имеет среднее 48,8 mm, известное стандартное отклонение 17 mm. Найдите статистику критерия z для H₀: μ₁ = μ₂, принимая разность как x̄₁ − x̄₂ (линия 1 минус линия 2).

n₁ = 100x̄₁ = 57 mmσ₁ = 11 mmn₂ = 30x̄₂ = 48,8 mmσ₂ = 17 mm

z =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Выборка из 100 измерений имеет среднее 118,2. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 20. Найдите верхнюю границу U 99 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 118,2σ = 20n = 10099%

U =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 6

r² =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (16,5, 60). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 5(16,5, 60)

e =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 15,93

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 203/7 = 29

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−4)² + (−15)² + 26² + 3² + (−12)² + 16² + (−14)² = 1522

Стандартное отклонение

s = √(1522/6) = 15,93

Ответ

s = 15,93

2.Описательная статистика

Ответ: P = 0,1587

Стандартизуйте

z = 1

Таблица нормального распределения

Φ(1) = 0,8413

P = 1 − 0,8413 = 0,1587

Ответ

P = 0,1587

3.Вероятность

Ответ: N = 792

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Сочетания

C(12, 5) = (12·11·10·9·8)/(5·4·3·2·1) = 792

Ответ

N = 792

4.Вероятность

Ответ: σ_Y = 9,95

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Разброс X

μ = 3,8, Var(X) = 3,96, σ_X = 1,99

Линейное преобразование

σ_Y = |5|·1,99 = 9,95

Ответ

σ_Y = 9,95

Среднее действительно сдвигается: E(Y) = 5·3,8 + 5 = 24.

5.Нормальное распределение

Ответ: z = 0,68

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = (1 + 0,5035)/2 = 0,7517

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,7517 внутри таблицы и считайте z.

z = 0,68

Ответ

z = 0,68

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 54,6 баллов

Площадь слева

Φ(z) = 0,15

z из таблицы

z ≈ −1,04

Возврат к исходным единицам

x = 65 − 1,04·10 = 54,6 баллов

Ответ

x = 54,6 баллов

7.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = 69,57

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 15, t = 1,753

Предельная ошибка

E = 1,753·15/√16 = 6,574

Интервал

63 ± 6,574 → [56,43, 69,57]

Ответ

верхняя граница = 69,57

8.Доверительные интервалы

Ответ: n = 693

Выразите n

n = (1,645·16/1)² = 692,7

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 693

Ответ

n = 693

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = 2,49

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Стандартная ошибка разности

SE = √(11²/100 + 17²/30) = √10,84 = 3,293

Статистика критерия

z = (57 − 48,8)/3,293 = 2,49

Ответ

z = 2,49

|z| > 1,96, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: U = 123,4

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Предельная ошибка

E = 2,576·20/√100 = 5,152

Граница интервала

U = 118,2 + 5,152 = 123,4

Ответ

U = 123,4

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,9616

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 138/6 = 23

ȳ = 560/6 = 93,33

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 274

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1115

Коэффициент детерминации

r² = 274²/(70·1115) = 0,9616

Ответ

r² = 0,9616

Прямая объясняет около 96,16% вариации y.

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = 3

Средние

x̄ = 105/5 = 21

ȳ = 381/5 = 76,2

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 384

Линия регрессии

b = 384/90 = 4,267

a = 76,2 − 4,267·21 = −13,4

ŷ = −13,4 + 4,267·x

Прогнозируемое значение

ŷ = −13,4 + 4,267·16,5 = 57

Остаток

e = 60 − 57 = 3

Ответ

e = 3

Точка лежит выше прямой.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1