Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 58, 28, 55, 13, 28, 30.

n = 6

s =

2.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 100 и стандартным отклонением 12. Найдите z-оценку z для результата 104,8.

μ = 100σ = 12x = 104,8

z =

3.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите дисперсию Var(X) величины X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,35, 0,25, 0,15, 0,25

Var(X) =

4.ВероятностьСложная

Игра стоит €3. Вы выигрываете €15 с вероятностью 0,2 и €30 с вероятностью 0,01; в остальных случаях вы ничего не выигрываете. Ставка не возвращается. Найдите ожидаемый чистый выигрыш E(G) за одну игру.

ставка = €3€15: p = 0,2€30: p = 0,01

E(G) = €

5.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь между −z и z под стандартной нормальной кривой была равна 0,9700. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,9700

z =

6.Нормальное распределениеСложная

Распределение «значения роста взрослых мужчин» нормальное: среднее 178 cm, стандартное отклонение 7 cm. Перетащите границу так, чтобы закрашенные нижние 60% были слева от неё. Найдите границу x.

μ = 178 cmσ = 7 cm60%

x = cm

7.Доверительные интервалыСредняя

У 13 пациентов измеряют артериальное давление до и после лечения. Разности d = до − после (mmHg) имеют среднее −7,5 и стандартное отклонение 6,4. Найдите предельную ошибку E 95 % доверительного интервала для средней разности.

n = 13d̄ = −7,5s_d = 6,495%t(12) = 2,179

E = mmHg

8.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 19. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 95 % доверительного интервала для среднего не превышала 1,5?

σ = 19E = 1,595%

n =

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 36 студентов имеет средний балл 73,13 и выборочное стандартное отклонение 8. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 73,13s = 8n = 36

t =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Односторонний z-критерий при α = 0,01 должен обнаруживать сдвиг среднего на 1,5 единиц с мощностью 80 %. Стандартное отклонение равно 5. Найдите минимальный объём выборки n.

α = 0,01мощность = 80%δ = 1,5σ = 5z_α = 2,326z_β = 0,842

n =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 6

r =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (7, 24). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 6(7, 24)

e =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 17,52

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 212/6 = 35,33

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 22,67² + (−7,333)² + 19,67² + (−22,33)² + (−7,333)² + (−5,333)² = 1535

Стандартное отклонение

s = √(1535/5) = 17,52

Ответ

s = 17,52

2.Описательная статистика

Ответ: z = 0,4

Стандартизуйте

z = (104,8 − 100)/12 = 0,4

Ответ

z = 0,4

3.Вероятность

Ответ: Var(X) = 141

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 10·0,35 + 20·0,25 + 30·0,15 + 40·0,25 = 23

Среднее квадратов

E(X²) = 100·0,35 + 400·0,25 + 900·0,15 + 1600·0,25 = 670

Дисперсия

Var(X) = 670 − 23² = 141

Ответ

Var(X) = 141

4.Вероятность

Ответ: E(G) = 0,3 €

Чистые исходы

G: 12 (p = 0,2), 27 (p = 0,01), −3 (p = 0,79)

Математическое ожидание

E(G) = 12·0,2 + 27·0,01 − 3·0,79 = 0,3 €

Ответ

E(G) = 0,3 €

Положительное значение означает, что в среднем вы выигрываете деньги.

5.Нормальное распределение

Ответ: z = 2,17

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = (1 + 0,9700)/2 = 0,9850

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,9850 внутри таблицы и считайте z.

z = 2,17

Ответ

z = 2,17

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 179,8 cm

Площадь слева

Φ(z) = 0,6

z из таблицы

z ≈ 0,25

Возврат к исходным единицам

x = 178 + 0,25·7 = 179,8 cm

Ответ

x = 179,8 cm

7.Доверительные интервалы

Ответ: E = 3,868 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Критическое значение

df = 12, t = 2,179

Предельная ошибка

E = 2,179·6,4/√13 = 3,868

Ответ

E = 3,868 mmHg

8.Доверительные интервалы

Ответ: n = 617

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Выразите n

n = (1,96·19/1,5)² = 616,4

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 617

Ответ

n = 617

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −1,403

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 8/√36 = 8/6 = 1,333

Статистика критерия

t = (73,13 − 75)/1,333 = −1,403

Ответ

t = −1,403

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| < 2.03, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 112

Объём выборки для критерия: чтобы обнаружить истинный сдвиг δ с мощностью 1 − β одностронним z-критерием на уровне α, стандартная ошибка должна удовлетворять δ = (z_α + z_β)·σ/√n, поэтому n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² с округлением вверх.

Выразите n

n = ((2,326 + 0,842)·5/1,5)² = 111,5

Округлите вверх

n = 112

Ответ

n = 112

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9949

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 381/6 = 63,5

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 289

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1206

Коэффициент корреляции

r = 289/√(70·1206) = 0,9949

Ответ

r = 0,9949

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = 2

Средние

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 132/6 = 22

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 206

Линия регрессии

b = 206/70 = 2,943

a = 22 − 2,943·7 = 1,4

ŷ = 1,4 + 2,943·x

Прогнозируемое значение

ŷ = 1,4 + 2,943·7 = 22

Остаток

e = 24 − 22 = 2

Ответ

e = 2

Точка лежит выше прямой.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1