Описательная статистика
- Среднее
- x̄ = Σx/n
- Выборочное стандартное отклонение
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Медиана
- срединное значение упорядоченных данных
- z-оценка
- z = (x − μ)/σ
- Нормальное распределение
- 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ
Основы статистики: шпаргалка-пакет
Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.
1Формулы и методы
Вероятность
- Противоположное событие
- P(not A) = 1 − P(A)
- Правило сложения
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Независимые события
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Условная вероятность
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Биномиальное распределение
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Нормальное распределение
- z-оценка
- z = (x − μ)/σ
- Меньше x
- P(X < x) = Φ(z)
- Больше x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Между
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Процентиль
- x = μ + z·σ
Метод
- Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
- Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
- Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
- Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.
Доверительные интервалы
- σ известно
- x̄ ± z·σ/√n
- σ неизвестно
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Критическое значение z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Объём выборки
- n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
- Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
- Найдите критическое значение для уровня доверия.
- Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
- Интервал: x̄ ± E.
Проверка гипотез и доверительные интервалы
- z-тест для среднего
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t-тест для среднего
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Двусторонний на уровне 5%
- отвергните H0, если |z| > 1,96
- Доверительный интервал
- x̄ ± z·σ/√n
Метод
- Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
- Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
- Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
- Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.
Линейная регрессия и корреляция
- Суммы квадратов
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Угловой коэффициент
- b = Sxy/Sxx
- Свободный член
- a = ȳ − b·x̄
- Корреляция
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Остаток
- e = y − ŷ
2Тренировочные задачи
1.Описательная статистикаСредняя
Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 34, 24, 54, 31, 10.
n = 5
s =
2.Описательная статистикаСложная
Баллы за экзамен распределены нормально со средним 100 и стандартным отклонением 15. Найдите z-оценку z для результата 92,5.
μ = 100σ = 15x = 92,5
z =
3.ВероятностьСредняя
Для показанного распределения найдите стандартное отклонение σ величины X.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,25, 0,25, 0,25, 0,25
σ =
4.ВероятностьСложная
X имеет показанное распределение, а Y = 2X + 1. Найдите стандартное отклонение σY величины Y.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,15, 0,3, 0,35, 0,2Y = 2X + 1
σY =
5.Нормальное распределениеСредняя
Массы объектов (мешки с цементом) независимы и нормально распределены со средним 25 kg и стандартным отклонением 0,5 kg. Найдите вероятность P того, что общая масса 9 из них меньше 228 kg. Округлите z до двух знаков после запятой.
μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 9< 228 kg
P =
6.Нормальное распределениеСложная
Пусть сроки доставки распределены нормально со средним 32 min и стандартным отклонением 6 min. Найдите значение x, ниже которого лежат 95 % значений (95-й процентиль).
μ = 32σ = 6P = 95%
x = min
7.Доверительные интервалыСредняя
У 9 пациентов измеряют артериальное давление до и после лечения. Разности d = до − после (mmHg) имеют среднее 4,3 и стандартное отклонение 5,6. Найдите верхнюю границу 99 % доверительного интервала для средней разности.
n = 9d̄ = 4,3sd = 5,699%t(8) = 3,355
верхняя граница = mmHg
8.Доверительные интервалыСложная
Испытываются два удобрения. Группа участков 1: 13 участков, средний урожай 89,5 kg, стандартное отклонение 3,5 kg. Группа участков 2: 8 участков, среднее 97,5 kg, стандартное отклонение 2 kg. Считайте дисперсии равными (объединённый t-критерий, df = n₁ + n₂ − 2). Найдите предельную ошибку E 99 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.
n₁ = 13x̄₁ = 89,5s₁ = 3,5n₂ = 8x̄₂ = 97,5s₂ = 299%t(19) = 2,861
E = kg
9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Выборка из 81 студентов имеет средний балл 78,22 и выборочное стандартное отклонение 10. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 78,22s = 10n = 81
t =
10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
Какой должна быть выборка, чтобы 99 % доверительный интервал для среднего имел предельную ошибку не более 1? Стандартное отклонение — 10. Найдите наименьший объём выборки n.
σ = 10E = 199%
n =
11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
В таблице даны 5 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.
n = 5
r =
12.Линейная регрессия и корреляцияСложная
В таблице даны 5 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 18.
n = 5x = 18
ŷ =
3Растворы
1.Описательная статистика
Ответ: s = 16,02
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Среднее
x̄ = 153/5 = 30,6
Квадраты отклонений
Σ(x − x̄)² = 3,4² + (−6,6)² + 23,4² + 0,4² + (−20,6)² = 1027
Стандартное отклонение
s = √(1027/4) = 16,02
Ответ
s = 16,02
2.Описательная статистика
Ответ: z = −0,5
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = (92,5 − 100)/15 = −0,5
Ответ
z = −0,5
3.Вероятность
Ответ: σ = 2,236
Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σY = |a|·σX; прибавление константы не меняет разброс.
Среднее
μ = 0·0,25 + 2·0,25 + 4·0,25 + 6·0,25 = 3
Среднее квадратов
E(X²) = 0·0,25 + 4·0,25 + 16·0,25 + 36·0,25 = 14
Дисперсия
Var(X) = 14 − 3² = 5
σ = √5 = 2,236
Ответ
σ = 2,236
4.Вероятность
Ответ: σY = 1,939
Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σY = |a|·σX; прибавление константы не меняет разброс.
Разброс X
μ = 1,6, Var(X) = 0,94, σX = 0,9695
Линейное преобразование
σY = |2|·0,9695 = 1,939
Ответ
σY = 1,939
Среднее действительно сдвигается: E(Y) = 2·1,6 + 1 = 4,2.
5.Нормальное распределение
Ответ: P = 0,9772
Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σX² + σY², поэтому σ = √(σX² + σY²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).
Распределение суммы
μT = 225 kg, σT = 0,5·√9 = 1,5 kg
Стандартизуйте
z = (228 − 225)/1,5 = 2
Вероятность
P = Φ(2) = 0,9772
Ответ
P = 0,9772
6.Нормальное распределение
Ответ: x = 41,87 min
Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.
z для процентиля
Φ(z) = 0,95 → z = 1,645
Обратно к x
x = 32 + 1,645·6 = 41,87 min
Ответ
x = 41,87 min
7.Доверительные интервалы
Ответ: верхняя граница = 10,56 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Критическое значение
df = 8, t = 3,355
Предельная ошибка
E = 3,355·5,6/√9 = 6,263
Интервал
4,3 ± 6,263 → [−1,963, 10,56]
Ответ
верхняя граница = 10,56 mmHg
8.Доверительные интервалы
Ответ: E = 3,902 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Объединённое стандартное отклонение
sp² = (12·3,5² + 7·2²)/19 = 9,211
sp = 3,035
Предельная ошибка
E = 2,861·3,035·√(1/13 + 1/8) = 3,902
Ответ
E = 3,902 kg
9.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = 2,898
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Стандартная ошибка
SE = 10/√81 = 10/9 = 1,111
Статистика критерия
t = (78,22 − 75)/1,111 = 2,898
Ответ
t = 2,898
t0,025; df = 80 = 1,99
|t| > 1,99, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).
10.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: n = 664
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Выразите n
n = (2,576·10/1)² = 663,6
Округлите вверх
n = 664
Ответ
n = 664
11.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: r = 0,9879
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 120/5 = 24
ȳ = 460/5 = 92
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 441
Syy = Σ(y − ȳ)² = 2214
Коэффициент корреляции
r = 441/√(90·2214) = 0,9879
Ответ
r = 0,9879
12.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: ŷ = 97,35
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 105/5 = 21
ȳ = 564/5 = 112,8
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 206
Линия регрессии
b = 206/40 = 5,15
a = 112,8 − 5,15·21 = 4,65
ŷ = 4,65 + 5,15·x
Прогноз
ŷ = 4,65 + 5,15·18 = 97,35
Ответ
ŷ = 97,35
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1