Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 46, 40, 51, 59, 19.

n = 5

s =

2.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 500 и стандартным отклонением 75. Какая доля P значений больше 387,5?

μ = 500σ = 75x = 387,5

P =

3.ВероятностьСредняя

Сколькими способами N можно выбрать комиссию из 2 человек из группы из 12 человек? Порядок не важен.

n = 12k = 2

N =

4.ВероятностьСложная

Испытывают 7 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,4. Какова вероятность P, что откажет не более одного?

n = 7p = 0,4

P =

5.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь между −z и z под стандартной нормальной кривой была равна 0,9684. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,9684

z =

6.Нормальное распределениеСложная

Распределение «сроки службы батареек» нормальное: среднее 500 h, стандартное отклонение 40 h. Перетащите границу так, чтобы закрашенные верхние 90% были справа от неё. Найдите границу x.

μ = 500 hσ = 40 h90%

x = h

7.Доверительные интервалыСредняя

Сравнивается время работы аккумулятора двух моделей телефонов. Модель 1: 80 телефонов, среднее 59 h, известное стандартное отклонение 16 h. Модель 2: 100 телефонов, среднее 47,5 h, известное стандартное отклонение 6 h. Найдите предельную ошибку E 90 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 80x̄₁ = 59 hσ₁ = 16 hn₂ = 100x̄₂ = 47,5 hσ₂ = 6 h90%

E = h

8.Доверительные интервалыСложная

Пилотное исследование показывает, что бракованными являются примерно 0,3 изделий. Сколько изделий n нужно проверить, чтобы 90 % доверительный интервал для доли имел предельную ошибку не более 0,025?

p ≈ 0,3E = 0,02590%

n =

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 100 студентов имеет средний балл 98,6 и выборочное стандартное отклонение 10. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 98,6s = 10n = 100

t =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Выборка из 25 измерений имеет среднее 493,8. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 12. Найдите верхнюю границу U 95 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 493,8σ = 12n = 2595%

U =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 6

r² =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 9.

n = 5x = 9

ŷ =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 15,12

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 215/5 = 43

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 3² + (−3)² + 8² + 16² + (−24)² = 914

Стандартное отклонение

s = √(914/4) = 15,12

Ответ

s = 15,12

2.Описательная статистика

Ответ: P = 0,9332

Стандартизуйте

z = −1,5

Таблица нормального распределения

Φ(−1,5) = 0,06681

P = 1 − 0,06681 = 0,9332

Ответ

P = 0,9332

3.Вероятность

Ответ: N = 66

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Сочетания

C(12, 2) = (12·11)/(2·1) = 66

Ответ

N = 66

4.Вероятность

Ответ: P = 0,1586

Ноль и один отказ

P(X = 0) = 0,6⁷ = 0,02799

P(X = 1) = 7·0,4·0,6⁶ = 0,1306

Сложите

P = 0,02799 + 0,1306 = 0,1586

Ответ

P = 0,1586

5.Нормальное распределение

Ответ: z = 2,15

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = (1 + 0,9684)/2 = 0,9842

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,9842 внутри таблицы и считайте z.

z = 2,15

Ответ

z = 2,15

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 449 h

Площадь слева

Φ(z) = 0,1

z из таблицы

z ≈ −1,28

Возврат к исходным единицам

x = 500 − 1,28·40 = 449 h

Ответ

x = 449 h

7.Доверительные интервалы

Ответ: E = 3,104 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точечная оценка

x̄₁ − x̄₂ = 59 − 47,5 = 11,5

Стандартная ошибка

SE = √(16²/80 + 6²/100) = 1,887

Предельная ошибка

E = 1,645·1,887 = 3,104

Ответ

E = 3,104 h

Интервал не содержит 0, поэтому средние значимо различаются.

8.Доверительные интервалы

Ответ: n = 910

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Выразите n

n = 1,645²·0,3·0,7/0,025² = 909,2

Округлите вверх

n = 910

Ответ

n = 910

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −1,4

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 10/√100 = 10/10 = 1

Статистика критерия

t = (98,6 − 100)/1 = −1,4

Ответ

t = −1,4

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| < 1.984, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: U = 498,5

Предельная ошибка

E = 1,96·12/√25 = 4,704

Граница интервала

U = 493,8 + 4,704 = 498,5

Ответ

U = 498,5

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,9652

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 390/6 = 65

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 262

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1016

Коэффициент детерминации

r² = 262²/(70·1016) = 0,9652

Ответ

r² = 0,9652

Прямая объясняет около 96,52% вариации y.

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: ŷ = 26,75

Средние

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 91/5 = 18,2

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 114

Линия регрессии

b = 114/40 = 2,85

a = 18,2 − 2,85·6 = 1,1

ŷ = 1,1 + 2,85·x

Прогноз

ŷ = 1,1 + 2,85·9 = 26,75

Ответ

ŷ = 26,75

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1