Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 23, 20, 56, 49, 12.

n = 5

s =

2.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 170 и стандартным отклонением 8. Найдите z-оценку z для результата 158.

μ = 170σ = 8x = 158

z =

3.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите стандартное отклонение σ величины X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,3, 0,35, 0,05, 0,1, 0,2

σ =

4.ВероятностьСложная

X имеет показанное распределение, а Y = 0,5X − 3. Найдите стандартное отклонение σ_Y величины Y.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,35, 0,3, 0,05Y = 0,5X − 3

σ_Y =

5.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь между −z и z под стандартной нормальной кривой была равна 0,6372. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,6372

z =

6.Нормальное распределениеСложная

Распределение «сроки службы батареек» нормальное: среднее 500 h, стандартное отклонение 40 h. Перетащите границу так, чтобы закрашенные верхние 90% были справа от неё. Найдите границу x.

μ = 500 hσ = 40 h90%

x = h

7.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 9 элементов имеет среднее 101,5 и стандартное отклонение s = 1,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите верхнюю границу 95 % доверительного интервала для среднего.

n = 9x̄ = 101,5s = 1,595%t(8) = 2,306

верхняя граница =

8.Доверительные интервалыСложная

Диаметры 11 обработанных валов имеют выборочное стандартное отклонение 0,6 µm. Считая диаметры нормально распределёнными, найдите границу 95 % доверительного интервала для стандартного отклонения генеральной совокупности — верхняя граница σ. При df = 10 2,5 % распределения χ² лежит ниже 3,247 и 2,5 % — выше 20,483.

n = 11s = 0,6 µmχ² = 3,247, 20,483

σ = µm

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Утверждается, что среднее генеральной совокупности равно 500; стандартное отклонение генеральной совокупности известно и равно 2,5. Случайная выборка из 25 наблюдений имеет среднее 499,42. Проверьте H₀: μ = 500 против H₁: μ ≠ 500. Найдите p-значение p.

μ₀ = 500σ = 2,5n = 25x̄ = 499,42H₁: μ ≠ μ₀

p =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Односторонний z-критерий при α = 0,05 должен обнаруживать сдвиг среднего на 3 единиц с мощностью 80 %. Стандартное отклонение равно 8. Найдите минимальный объём выборки n.

α = 0,05мощность = 80%δ = 3σ = 8z_α = 1,645z_β = 0,842

n =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 6Σx = 21Σy = 313Σx² = 91Σy² = 16841Σxy = 1180

r =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 64?

n = 5ŷ = 64

x =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 19,3

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 160/5 = 32

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−9)² + (−12)² + 24² + 17² + (−20)² = 1490

Стандартное отклонение

s = √(1490/4) = 19,3

Ответ

s = 19,3

2.Описательная статистика

Ответ: z = −1,5

Стандартизуйте

z = (158 − 170)/8 = −1,5

Ответ

z = −1,5

3.Вероятность

Ответ: σ = 1,499

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 1·0,3 + 2·0,35 + 3·0,05 + 4·0,1 + 5·0,2 = 2,55

Среднее квадратов

E(X²) = 1·0,3 + 4·0,35 + 9·0,05 + 16·0,1 + 25·0,2 = 8,75

Дисперсия

Var(X) = 8,75 − 2,55² = 2,248

σ = √2,248 = 1,499

Ответ

σ = 1,499

4.Вероятность

Ответ: σ_Y = 0,4444

Разброс X

μ = 2,1, Var(X) = 0,79, σ_X = 0,8888

Линейное преобразование

σ_Y = |0,5|·0,8888 = 0,4444

Ответ

σ_Y = 0,4444

Среднее действительно сдвигается: E(Y) = 0,5·2,1 − 3 = −1,95.

5.Нормальное распределение

Ответ: z = 0,91

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = (1 + 0,6372)/2 = 0,8186

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,8186 внутри таблицы и считайте z.

z = 0,91

Ответ

z = 0,91

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 449 h

Площадь слева

Φ(z) = 0,1

z из таблицы

z ≈ −1,28

Возврат к исходным единицам

x = 500 − 1,28·40 = 449 h

Ответ

x = 449 h

7.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = 102,7

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 8, t = 2,306

Предельная ошибка

E = 2,306·1,5/√9 = 1,153

Интервал

101,5 ± 1,153 → [100,3, 102,7]

Ответ

верхняя граница = 102,7

8.Доверительные интервалы

Ответ: σ = 1,053 µm

Интервал для дисперсии: (n − 1)s²/σ² имеет распределение χ² с n − 1 степенями свободы. 95 % интервал для σ² простирается от (n − 1)s², делённого на верхнее значение χ² (выше него 2,5 %), до (n − 1)s², делённого на нижнее значение χ² (ниже него 2,5 %); интервал для σ получают извлечением квадратного корня из обеих границ. Он несимметричен относительно s.

Сумма квадратов

(n − 1)s² = 10·0,6² = 3,6

Границы для σ²

3,6/20,483 = 0,1758

3,6/3,247 = 1,109

Граница для σ

σ = √1,109 = 1,053 µm

Ответ

σ = 1,053 µm

95 % интервал для σ: [0,4192, 1,053] µm.

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: p = 0,246

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Статистика критерия

SE = σ/√n = 2,5/√25 = 0,5

z = (499,42 − 500)/0,5 = −1,16

Площадь хвоста

Φ(1,16) = 0,8770

1 − Φ(1,16) = 0,1230

p-значение

p = 2·0,1230 = 0,246

Ответ

p = 0,246

p > 0,05, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 %.

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 44

Объём выборки для критерия: чтобы обнаружить истинный сдвиг δ с мощностью 1 − β одностронним z-критерием на уровне α, стандартная ошибка должна удовлетворять δ = (z_α + z_β)·σ/√n, поэтому n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² с округлением вверх.

Выразите n

n = ((1,645 + 0,842)·8/3)² = 43,98

Округлите вверх

n = 44

Ответ

n = 44

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,892

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Центрированные суммы

S_xy = 1180 − 21·313/6 = 84,5

S_xx = 91 − 21²/6 = 17,5

S_yy = 16841 − 313²/6 = 512,8

Коэффициент корреляции

r = 84,5/√(17,5·512,8) = 0,892

Ответ

r = 0,892

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 19,48

Средние

x̄ = 120/5 = 24

ȳ = 412/5 = 82,4

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 366

Линия регрессии

b = 366/90 = 4,067

a = 82,4 − 4,067·24 = −15,2

ŷ = −15,2 + 4,067·x

Найдите x

x = (64 − (−15,2))/4,067 = 19,48

Ответ

x = 19,48

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1