Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 32, 52, 13, 35, 31, 18, 21.

n = 7

s =

2.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 500 и стандартным отклонением 40. Какая доля P значений больше 480?

μ = 500σ = 40x = 480

P =

3.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите стандартное отклонение σ величины X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,3, 0,2, 0,15, 0,35

σ =

4.ВероятностьСложная

В тесте 12 вопросов с вариантами ответов. Студентка, которая угадывает, отвечает верно на каждый с вероятностью 0,7, независимо. Какова вероятность P ровно 5 верных ответов?

n = 12p = 0,7k = 5

P =

5.Нормальное распределениеСредняя

Массы объектов (мешки с цементом) независимы и нормально распределены со средним 25 kg и стандартным отклонением 0,5 kg. Найдите вероятность P того, что общая масса 4 из них меньше 101 kg. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 4< 101 kg

P =

6.Нормальное распределениеСложная

Распределение «баллы за экзамен» нормальное: среднее 65 баллов, стандартное отклонение 10 баллов. Перетащите границу так, чтобы закрашенные нижние 95% были слева от неё. Найдите границу x.

μ = 65 балловσ = 10 баллов95%

x = баллов

7.Доверительные интервалыСредняя

Сравнивается время работы аккумулятора двух моделей телефонов. Модель 1: 100 телефонов, среднее 122,5 h, известное стандартное отклонение 20 h. Модель 2: 40 телефонов, среднее 127,5 h, известное стандартное отклонение 9 h. Найдите верхнюю границу 99 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 100x̄₁ = 122,5 hσ₁ = 20 hn₂ = 40x̄₂ = 127,5 hσ₂ = 9 h99%

верхняя граница = h

8.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 13. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 99 % доверительного интервала для среднего не превышала 2,5?

σ = 13E = 2,599%

n =

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Две производственные линии изготавливают одну и ту же деталь. Линия 1: выборка из 50 деталей имеет среднюю длину 142 mm, известное стандартное отклонение линии 10 mm. Линия 2: выборка из 100 деталей имеет среднее 137,7 mm, известное стандартное отклонение 11 mm. Найдите статистику критерия z для H₀: μ₁ = μ₂, принимая разность как x̄₁ − x̄₂ (линия 1 минус линия 2).

n₁ = 50x̄₁ = 142 mmσ₁ = 10 mmn₂ = 100x̄₂ = 137,7 mmσ₂ = 11 mm

z =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

В исследовании выздоравливают 30 из 150 пациентов, получавших лечение A, и 33 из 250 пациентов, получавших лечение B. Используя объединённую долю, найдите статистику критерия z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 30n₁ = 150x₂ = 33n₂ = 250

z =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 6

r² =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (3, 6). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 5(3, 6)

e =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 13,03

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 202/7 = 28,86

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 3,143² + 23,14² + (−15,86)² + 6,143² + 2,143² + (−10,86)² + (−7,857)² = 1019

Стандартное отклонение

s = √(1019/6) = 13,03

Ответ

s = 13,03

2.Описательная статистика

Ответ: P = 0,6915

Стандартизуйте

z = −0,5

Таблица нормального распределения

Φ(−0,5) = 0,3085

P = 1 − 0,3085 = 0,6915

Ответ

P = 0,6915

3.Вероятность

Ответ: σ = 1,244

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 0·0,3 + 1·0,2 + 2·0,15 + 3·0,35 = 1,55

Среднее квадратов

E(X²) = 0·0,3 + 1·0,2 + 4·0,15 + 9·0,35 = 3,95

Дисперсия

Var(X) = 3,95 − 1,55² = 1,548

σ = √1,548 = 1,244

Ответ

σ = 1,244

4.Вероятность

Ответ: P = 0,02911

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Формула Бернулли

P(X = 5) = 792·0,7⁵·0,3⁷ = 792·0,1681·0,0002187 = 0,02911

Ответ

P = 0,02911

5.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,8413

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ_T = 100 kg, σ_T = 0,5·√4 = 1 kg

Стандартизуйте

z = (101 − 100)/1 = 1

Вероятность

P = Φ(1) = 0,8413

Ответ

P = 0,8413

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 81,4 баллов

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева

Φ(z) = 0,95

z из таблицы

z ≈ 1,64

Возврат к исходным единицам

x = 65 + 1,64·10 = 81,4 баллов

Ответ

x = 81,4 баллов

7.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = 1,323 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точечная оценка

x̄₁ − x̄₂ = 122,5 − 127,5 = −5

Стандартная ошибка

SE = √(20²/100 + 9²/40) = 2,455

Предельная ошибка

E = 2,576·2,455 = 6,323

Интервал

−5 ± 6,323 → [−11,32, 1,323]

Ответ

верхняя граница = 1,323 h

Интервал содержит 0, поэтому данные не показывают значимого различия.

8.Доверительные интервалы

Ответ: n = 180

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Выразите n

n = (2,576·13/2,5)² = 179,4

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 180

Ответ

n = 180

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = 2,4

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Стандартная ошибка разности

SE = √(10²/50 + 11²/100) = √3,21 = 1,792

Статистика критерия

z = (142 − 137,7)/1,792 = 2,4

Ответ

z = 2,4

|z| > 1,96, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = 1,807

Выборочные доли

p̂₁ = 30/150 = 0,2

p̂₂ = 33/250 = 0,132

p̂ = 63/400 = 0,1575

Стандартная ошибка при H₀

SE = √(0,1575·0,8425·(1/150 + 1/250)) = 0,03762

Статистика критерия

z = (0,2 − 0,132)/0,03762 = 1,807

Ответ

z = 1,807

|z| < 1.96, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,9663

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 315/6 = 52,5

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 301

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1340

Коэффициент детерминации

r² = 301²/(70·1340) = 0,9663

Ответ

r² = 0,9663

Прямая объясняет около 96,63% вариации y.

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = −4,25

Средние

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 88/5 = 17,6

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 98

Линия регрессии

b = 98/40 = 2,45

a = 17,6 − 2,45·6 = 2,9

ŷ = 2,9 + 2,45·x

Прогнозируемое значение

ŷ = 2,9 + 2,45·3 = 10,25

Остаток

e = 6 − 10,25 = −4,25

Ответ

e = −4,25

Точка лежит ниже прямой.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1