Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 33, 26, 58, 52, 59, 19.

n = 6

s =

2.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 50 и стандартным отклонением 8. Какая доля P значений больше 40,4?

μ = 50σ = 8x = 40,4

P =

3.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите стандартное отклонение σ величины X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,2, 0,3, 0,3, 0,2

σ =

4.ВероятностьСложная

Игра стоит €5. Вы выигрываете €10 с вероятностью 0,1 и €50 с вероятностью 0,01; в остальных случаях вы ничего не выигрываете. Ставка не возвращается. Найдите ожидаемый чистый выигрыш E(G) за одну игру.

ставка = €5€10: p = 0,1€50: p = 0,01

E(G) = €

5.Нормальное распределениеСредняя

Пусть сроки доставки распределены нормально со средним 32 min и стандартным отклонением 6 min. Какая доля значений лежит между 20 и 37,1 min? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 32σ = 6x₁ = 20x₂ = 37,1

P =

6.Нормальное распределениеСложная

Пусть массы пакетов распределены нормально со средним 250 g и стандартным отклонением 5 g. Найдите значение x, ниже которого лежат 80 % значений (80-й процентиль).

μ = 250σ = 5P = 80%

x = g

7.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 16 элементов имеет среднее 14,5 и стандартное отклонение s = 10,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите верхнюю границу 95 % доверительного интервала для среднего.

n = 16x̄ = 14,5s = 10,595%t(15) = 2,131

верхняя граница =

8.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 17. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 90 % доверительного интервала для среднего не превышала 0,5?

σ = 17E = 0,590%

n =

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Утверждается, что среднее генеральной совокупности равно 120; стандартное отклонение генеральной совокупности известно и равно 9. Случайная выборка из 36 наблюдений имеет среднее 116,31. Проверьте H₀: μ = 120 против H₁: μ ≠ 120. Найдите p-значение p.

μ₀ = 120σ = 9n = 36x̄ = 116,31H₁: μ ≠ μ₀

p =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Односторонний z-критерий для H₀: μ = 50 против H₁: μ < 50 проводится при α = 0.01 по выборке объёмом 25; стандартное отклонение известно и равно 5. В действительности среднее равно 47.8. Найдите мощность 1 − β критерия в процентах.

μ₀ = 50μ = 47,8σ = 5n = 25α = 0,01

1 − β = %

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5Σx = 30Σy = 88Σx² = 220Σy² = 1946Σxy = 652

r =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 10.

n = 6x = 10

ŷ =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 17,36

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 247/6 = 41,17

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−8,167)² + (−15,17)² + 16,83² + 10,83² + 17,83² + (−22,17)² = 1507

Стандартное отклонение

s = √(1507/5) = 17,36

Ответ

s = 17,36

2.Описательная статистика

Ответ: P = 0,8849

Стандартизуйте

z = −1,2

Таблица нормального распределения

Φ(−1,2) = 0,1151

P = 1 − 0,1151 = 0,8849

Ответ

P = 0,8849

3.Вероятность

Ответ: σ = 1,025

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 0·0,2 + 1·0,3 + 2·0,3 + 3·0,2 = 1,5

Среднее квадратов

E(X²) = 0·0,2 + 1·0,3 + 4·0,3 + 9·0,2 = 3,3

Дисперсия

Var(X) = 3,3 − 1,5² = 1,05

σ = √1,05 = 1,025

Ответ

σ = 1,025

4.Вероятность

Ответ: E(G) = −3,5 €

Чистые исходы

G: 5 (p = 0,1), 45 (p = 0,01), −5 (p = 0,89)

Математическое ожидание

E(G) = 5·0,1 + 45·0,01 − 5·0,89 = −3,5 €

Ответ

E(G) = −3,5 €

Отрицательное значение означает, что в среднем вы теряете деньги.

5.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,7796

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (20 − 32)/6 = −2

z₂ = (37,1 − 32)/6 = 0,85

Площадь между

P = Φ(0,85) − Φ(−2) = 0,8023 − 0,02275 = 0,7796

Ответ

P = 0,7796

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 254,2 g

z для процентиля

Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416

Обратно к x

x = 250 + 0,8416·5 = 254,21 g

Ответ

x = 254,21 g

7.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = 20,09

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 15, t = 2,131

Предельная ошибка

E = 2,131·10,5/√16 = 5,594

Интервал

14,5 ± 5,594 → [8,906, 20,09]

Ответ

верхняя граница = 20,09

8.Доверительные интервалы

Ответ: n = 3129

Выразите n

n = (1,645·17/0,5)² = 3128

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 3129

Ответ

n = 3129

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: p = 0,01389

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Статистика критерия

SE = σ/√n = 9/√36 = 1,5

z = (116,31 − 120)/1,5 = −2,46

Площадь хвоста

Φ(2,46) = 0,9931

1 − Φ(2,46) = 0,0069

p-значение

p = 2·0,0069 = 0,01389

Ответ

p = 0,01389

p ≤ 0,05, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 %.

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: 1 − β = 44,99 %

Мощность критерия: мощность = 1 − β — вероятность отвергнуть H₀, когда она ложна. Найдите границу x̄c по μ₀ и z_α, затем вычислите вероятность оказаться за x̄c при истинном среднем: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Критическое выборочное среднее

SE = 5/√25 = 1

x̄_c = 50 − 2,326·1 = 47,67

z при истинном среднем

z = (47,67 − 47,8)/1 = −0,126

Мощность

мощность = P(Z < −0.126) = 44.99%

1 − β = 44,99%

Ответ

1 − β = 44,99%

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9838

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Центрированные суммы

S_xy = 652 − 30·88/5 = 124

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 1946 − 88²/5 = 397,2

Коэффициент корреляции

r = 124/√(40·397,2) = 0,9838

Ответ

r = 0,9838

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: ŷ = 115,5

Средние

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 605/6 = 100,8

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 513

Линия регрессии

b = 513/70 = 7,329

a = 100,8 − 7,329·8 = 42,2

ŷ = 42,2 + 7,329·x

Прогноз

ŷ = 42,2 + 7,329·10 = 115,5

Ответ

ŷ = 115,5

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1