Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 14, 16, 38, 25, 11, 25, 10.

n = 7

s =

2.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 50 и стандартным отклонением 12. Какая доля P значений больше 62?

μ = 50σ = 12x = 62

P =

3.ВероятностьСредняя

Сколькими способами N можно выбрать комиссию из 4 человек из группы из 6 человек? Порядок не важен.

n = 6k = 4

N =

4.ВероятностьСложная

Испытывают 11 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,7. Какова вероятность P, что откажет не более одного?

n = 11p = 0,7

P =

5.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь между −z и z под стандартной нормальной кривой была равна 0,9164. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,9164

z =

6.Нормальное распределениеСложная

Пусть массы пакетов распределены нормально со средним 250 g и стандартным отклонением 5 g. Найдите значение x, ниже которого лежат 5 % значений (5-й процентиль).

μ = 250σ = 5P = 5%

x = g

7.Доверительные интервалыСредняя

Сравнивается время работы аккумулятора двух моделей телефонов. Модель 1: 60 телефонов, среднее 62,5 h, известное стандартное отклонение 15 h. Модель 2: 40 телефонов, среднее 73,5 h, известное стандартное отклонение 14 h. Найдите верхнюю границу 90 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 60x̄₁ = 62,5 hσ₁ = 15 hn₂ = 40x̄₂ = 73,5 hσ₂ = 14 h90%

верхняя граница = h

8.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 33. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 95 % доверительного интервала для среднего не превышала 0,5?

σ = 33E = 0,595%

n =

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

7 сотрудников проходят тест на скорость печати до и после обучающего курса. Для каждого записывается разность d = после − до (слов в минуту). Средняя разность равна −1,13, стандартное отклонение разностей — 1. Найдите статистику парного критерия t для H₀: μ_d = 0.

n = 7d̄ = −1,13s_d = 1

t =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

В исследовании выздоравливают 50 из 200 пациентов, получавших лечение A, и 20 из 150 пациентов, получавших лечение B. Используя объединённую долю, найдите статистику критерия z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 50n₁ = 200x₂ = 20n₂ = 150

z =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 6

r =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 3.

n = 5x = 3

ŷ =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 10,06

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 139/7 = 19,86

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−5,857)² + (−3,857)² + 18,14² + 5,143² + (−8,857)² + 5,143² + (−9,857)² = 606,9

Стандартное отклонение

s = √(606,9/6) = 10,06

Ответ

s = 10,06

2.Описательная статистика

Ответ: P = 0,1587

Стандартизуйте

z = 1

Таблица нормального распределения

Φ(1) = 0,8413

P = 1 − 0,8413 = 0,1587

Ответ

P = 0,1587

3.Вероятность

Ответ: N = 15

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Сочетания

C(6, 4) = (6·5·4·3)/(4·3·2·1) = 15

Ответ

N = 15

4.Вероятность

Ответ: P = 4,724 × 10⁻⁵

Ноль и один отказ

P(X = 0) = 0,3¹¹ = 1,771 × 10⁻⁶

P(X = 1) = 11·0,7·0,3¹⁰ = 4,547 × 10⁻⁵

Сложите

P = 1,771 × 10⁻⁶ + 4,547 × 10⁻⁵ = 4,724 × 10⁻⁵

Ответ

P = 4,724 × 10⁻⁵

5.Нормальное распределение

Ответ: z = 1,73

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = (1 + 0,9164)/2 = 0,9582

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,9582 внутри таблицы и считайте z.

z = 1,73

Ответ

z = 1,73

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 241,8 g

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z для процентиля

Φ(z) = 0,05 → z = −1,645

Обратно к x

x = 250 + −1,645·5 = 241,78 g

Ответ

x = 241,78 g

7.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = −6,162 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точечная оценка

x̄₁ − x̄₂ = 62,5 − 73,5 = −11

Стандартная ошибка

SE = √(15²/60 + 14²/40) = 2,941

Предельная ошибка

E = 1,645·2,941 = 4,838

Интервал

−11 ± 4,838 → [−15,84, −6,162]

Ответ

верхняя граница = −6,162 h

Интервал не содержит 0, поэтому средние значимо различаются.

8.Доверительные интервалы

Ответ: n = 16735

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Выразите n

n = (1,96·33/0,5)² = 16734

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 16735

Ответ

n = 16735

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −2,99

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Стандартная ошибка средней разности

SE = 1/√7 = 0,378

Статистика критерия

t = −1,13/0,378 = −2,99

Ответ

t = −2,99

При df = 6 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,447; |t| больше, поэтому H₀ отвергается.

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = 2,7

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Выборочные доли

p̂₁ = 50/200 = 0,25

p̂₂ = 20/150 = 0,1333

p̂ = 70/350 = 0,2

Стандартная ошибка при H₀

SE = √(0,2·0,8·(1/200 + 1/150)) = 0,0432

Статистика критерия

z = (0,25 − 0,1333)/0,0432 = 2,7

Ответ

z = 2,7

|z| > 1,96, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9763

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 141/6 = 23,5

ȳ = 371/6 = 61,83

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 550,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 2019

Коэффициент корреляции

r = 550,5/√(157,5·2019) = 0,9763

Ответ

r = 0,9763

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: ŷ = 11,95

Средние

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 113/5 = 22,6

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 142

Линия регрессии

b = 142/40 = 3,55

a = 22,6 − 3,55·6 = 1,3

ŷ = 1,3 + 3,55·x

Прогноз

ŷ = 1,3 + 3,55·3 = 11,95

Ответ

ŷ = 11,95

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1