Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 36, 21, 45, 11, 51, 21, 12.

n = 7

s =

2.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 500 и стандартным отклонением 100. Найдите z-оценку z для результата 300.

μ = 500σ = 100x = 300

z =

3.ВероятностьСредняя

Сколькими способами N можно выбрать комиссию из 3 человек из группы из 11 человек? Порядок не важен.

n = 11k = 3

N =

4.ВероятностьСложная

X имеет показанное распределение, а Y = −2X − 3. Найдите стандартное отклонение σ_Y величины Y.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,25, 0,15, 0,15, 0,2, 0,25Y = −2X − 3

σ_Y =

5.Нормальное распределениеСредняя

Пусть результаты IQ-тестов распределены нормально со средним 100 баллов и стандартным отклонением 15 баллов. Какая доля значений лежит между 100,75 и 127,75 баллов? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 100σ = 15x₁ = 100,75x₂ = 127,75

P =

6.Нормальное распределениеСложная

Диаметры отверстий D нормально распределены со средним 25,05 mm и стандартным отклонением 0,01 mm. Диаметры валов d независимы и нормально распределены со средним 25 mm и стандартным отклонением 0,02 mm. Случайно выбранный вал подходит, если D − d > 0. Найдите вероятность P того, что он подходит. Округлите z до двух знаков после запятой.

отверстие: μ = 25,05 mm, σ = 0,01 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm

P =

7.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 15 элементов имеет среднее 24,5 и стандартное отклонение s = 20. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите верхнюю границу 95 % доверительного интервала для среднего.

n = 15x̄ = 24,5s = 2095%t(14) = 2,145

верхняя граница =

8.Доверительные интервалыСложная

О доле бракованных изделий заранее ничего не известно. Сколько изделий n нужно проверить, чтобы 90 % доверительный интервал для доли имел предельную ошибку не более 0,01?

p = 0,5E = 0,0190%

n =

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Две производственные линии изготавливают одну и ту же деталь. Линия 1: выборка из 80 деталей имеет среднюю длину 139,5 mm, известное стандартное отклонение линии 7 mm. Линия 2: выборка из 50 деталей имеет среднее 138,1 mm, известное стандартное отклонение 11 mm. Найдите статистику критерия z для H₀: μ₁ = μ₂, принимая разность как x̄₁ − x̄₂ (линия 1 минус линия 2).

n₁ = 80x̄₁ = 139,5 mmσ₁ = 7 mmn₂ = 50x̄₂ = 138,1 mmσ₂ = 11 mm

z =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

В исследовании выздоравливают 24 из 120 пациентов, получавших лечение A, и 26 из 100 пациентов, получавших лечение B. Используя объединённую долю, найдите статистику критерия z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 24n₁ = 120x₂ = 26n₂ = 100

z =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5Σx = 30Σy = 91Σx² = 220Σy² = 1979Σxy = 658

r =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 23?

n = 6ŷ = 23

x =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 15,94

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 197/7 = 28,14

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 7,857² + (−7,143)² + 16,86² + (−17,14)² + 22,86² + (−7,143)² + (−16,14)² = 1525

Стандартное отклонение

s = √(1525/6) = 15,94

Ответ

s = 15,94

2.Описательная статистика

Ответ: z = −2

Стандартизуйте

z = (300 − 500)/100 = −2

Ответ

z = −2

3.Вероятность

Ответ: N = 165

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Сочетания

C(11, 3) = (11·10·9)/(3·2·1) = 165

Ответ

N = 165

4.Вероятность

Ответ: σ_Y = 3,064

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Разброс X

μ = 3,05, Var(X) = 2,348, σ_X = 1,532

Линейное преобразование

σ_Y = |−2|·1,532 = 3,064

Ответ

σ_Y = 3,064

Среднее действительно сдвигается: E(Y) = −2·3,05 − 3 = −9,1.

5.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,4479

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (100,75 − 100)/15 = 0,05

z₂ = (127,75 − 100)/15 = 1,85

Площадь между

P = Φ(1,85) − Φ(0,05) = 0,9678 − 0,5199 = 0,4479

Ответ

P = 0,4479

6.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,9875

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение разности

μ = 25,05 − 25 = 0,05 mm, σ = 0,02236 mm

Стандартизуйте

z = (0 − 0,05)/0,02236 = −2,24

Вероятность

P = 1 − Φ(−2,24) = 0,9875

Ответ

P = 0,9875

7.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = 35,58

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 14, t = 2,145

Предельная ошибка

E = 2,145·20/√15 = 11,08

Интервал

24,5 ± 11,08 → [13,42, 35,58]

Ответ

верхняя граница = 35,58

8.Доверительные интервалы

Ответ: n = 6766

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Выразите n

n = 1,645²·0,5·0,5/0,01² = 6765

Округлите вверх

n = 6766

Ответ

n = 6766

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = 0,8039

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Стандартная ошибка разности

SE = √(7²/80 + 11²/50) = √3,032 = 1,741

Статистика критерия

z = (139,5 − 138,1)/1,741 = 0,8039

Ответ

z = 0,8039

|z| < 1.96, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = −1,057

Выборочные доли

p̂₁ = 24/120 = 0,2

p̂₂ = 26/100 = 0,26

p̂ = 50/220 = 0,2273

Стандартная ошибка при H₀

SE = √(0,2273·0,7727·(1/120 + 1/100)) = 0,05674

Статистика критерия

z = (0,2 − 0,26)/0,05674 = −1,057

Ответ

z = −1,057

|z| < 1.96, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9856

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Центрированные суммы

S_xy = 658 − 30·91/5 = 112

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 1979 − 91²/5 = 322,8

Коэффициент корреляции

r = 112/√(40·322,8) = 0,9856

Ответ

r = 0,9856

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 2,556

Средние

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 121/6 = 20,17

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −52,5

Линия регрессии

b = −52,5/17,5 = −3

a = 20,17 − (−3)·3,5 = 30,67

ŷ = 30,67 − 3·x

Найдите x

x = (23 − 30,67)/(−3) = 2,556

Ответ

x = 2,556

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1