Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 59, 17, 13, 32, 20, 40.

n = 6

s =

2.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 500 и стандартным отклонением 100. Какая доля P значений больше 700?

μ = 500σ = 100x = 700

P =

3.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите стандартное отклонение σ величины X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,25, 0,3, 0,05, 0,15, 0,25

σ =

4.ВероятностьСложная

X имеет показанное распределение, а Y = 2X − 3. Найдите стандартное отклонение σ_Y величины Y.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,3, 0,3, 0,05, 0,35Y = 2X − 3

σ_Y =

5.Нормальное распределениеСредняя

Массы объектов (пассажиры с багажом) независимы и нормально распределены со средним 85 kg и стандартным отклонением 12 kg. Найдите вероятность P того, что общая масса 9 из них превышает 783 kg. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 9> 783 kg

P =

6.Нормальное распределениеСложная

Диаметры отверстий D нормально распределены со средним 25,02 mm и стандартным отклонением 0,015 mm. Диаметры валов d независимы и нормально распределены со средним 25 mm и стандартным отклонением 0,015 mm. Случайно выбранный вал подходит, если D − d > 0. Найдите вероятность P того, что он подходит. Округлите z до двух знаков после запятой.

отверстие: μ = 25,02 mm, σ = 0,015 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm

P =

7.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 15 элементов имеет среднее 59 и стандартное отклонение s = 11,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите предельную ошибку E 99 % доверительного интервала для среднего.

n = 15x̄ = 59s = 11,599%t(14) = 2,977

E =

8.Доверительные интервалыСложная

Испытываются два удобрения. Группа участков 1: 6 участков, средний урожай 63,5 kg, стандартное отклонение 6 kg. Группа участков 2: 15 участков, среднее 62,5 kg, стандартное отклонение 4,5 kg. Считайте дисперсии равными (объединённый t-критерий, df = n₁ + n₂ − 2). Найдите предельную ошибку E 95 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 6x̄₁ = 63,5s₁ = 6n₂ = 15x̄₂ = 62,5s₂ = 4,595%t(19) = 2,093

E = kg

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Утверждается, что среднее генеральной совокупности равно 250; стандартное отклонение генеральной совокупности известно и равно 24. Случайная выборка из 36 наблюдений имеет среднее 240,72. Проверьте H₀: μ = 250 против H₁: μ < 250. Найдите p-значение p.

μ₀ = 250σ = 24n = 36x̄ = 240,72H₁: μ < μ₀

p =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Односторонний z-критерий для H₀: μ = 500 против H₁: μ < 500 проводится при α = 0.10 по выборке объёмом 64; стандартное отклонение известно и равно 24. В действительности среднее равно 491. Найдите вероятность ошибки второго рода β в процентах.

μ₀ = 500μ = 491σ = 24n = 64α = 0,10

β = %

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5Σx = 35Σy = 352Σx² = 285Σy² = 25974Σxy = 2682

r =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 18?

n = 6ŷ = 18

x =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 17,34

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 181/6 = 30,17

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 28,83² + (−13,17)² + (−17,17)² + 1,833² + (−10,17)² + 9,833² = 1503

Стандартное отклонение

s = √(1503/5) = 17,34

Ответ

s = 17,34

2.Описательная статистика

Ответ: P = 0,02275

Стандартизуйте

z = 2

Таблица нормального распределения

Φ(2) = 0,9772

P = 1 − 0,9772 = 0,02275

Ответ

P = 0,02275

3.Вероятность

Ответ: σ = 1,558

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 0·0,25 + 1·0,3 + 2·0,05 + 3·0,15 + 4·0,25 = 1,85

Среднее квадратов

E(X²) = 0·0,25 + 1·0,3 + 4·0,05 + 9·0,15 + 16·0,25 = 5,85

Дисперсия

Var(X) = 5,85 − 1,85² = 2,427

σ = √2,427 = 1,558

Ответ

σ = 1,558

4.Вероятность

Ответ: σ_Y = 4,976

Разброс X

μ = 2,9, Var(X) = 6,19, σ_X = 2,488

Линейное преобразование

σ_Y = |2|·2,488 = 4,976

Ответ

σ_Y = 4,976

Среднее действительно сдвигается: E(Y) = 2·2,9 − 3 = 2,8.

5.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,3085

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ_T = 765 kg, σ_T = 12·√9 = 36 kg

Стандартизуйте

z = (783 − 765)/36 = 0,5

Вероятность

P = 1 − Φ(0,5) = 0,3085

Ответ

P = 0,3085

6.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,8264

Распределение разности

μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,02121 mm

Стандартизуйте

z = (0 − 0,02)/0,02121 = −0,94

Вероятность

P = 1 − Φ(−0,94) = 0,8264

Ответ

P = 0,8264

7.Доверительные интервалы

Ответ: E = 8,84

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 14, t = 2,977

Предельная ошибка

E = 2,977·11,5/√15 = 8,84

Ответ

E = 8,84

8.Доверительные интервалы

Ответ: E = 4,994 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Объединённое стандартное отклонение

s_p² = (5·6² + 14·4,5²)/19 = 24,39

s_p = 4,939

Предельная ошибка

E = 2,093·4,939·√(1/6 + 1/15) = 4,994

Ответ

E = 4,994 kg

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: p = 0,01017

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Статистика критерия

SE = σ/√n = 24/√36 = 4

z = (240,72 − 250)/4 = −2,32

Площадь хвоста

Φ(2,32) = 0,9898

1 − Φ(2,32) = 0,0102

p-значение

p = 0,01017

Ответ

p = 0,01017

p ≤ 0,05, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 %.

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: β = 4,29 %

Мощность критерия: мощность = 1 − β — вероятность отвергнуть H₀, когда она ложна. Найдите границу x̄c по μ₀ и z_α, затем вычислите вероятность оказаться за x̄c при истинном среднем: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Критическое выборочное среднее

SE = 24/√64 = 3

x̄_c = 500 − 1,282·3 = 496,2

z при истинном среднем

z = (496,2 − 491)/3 = 1,718

Ошибка второго рода

мощность = P(Z < 1.718) = 95.71%

β = 100% − 95,71% = 4,29%

Ответ

β = 4,29%

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9979

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Центрированные суммы

S_xy = 2682 − 35·352/5 = 218

S_xx = 285 − 35²/5 = 40

S_yy = 25974 − 352²/5 = 1193

Коэффициент корреляции

r = 218/√(40·1193) = 0,9979

Ответ

r = 0,9979

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 5,57

Средние

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 130/6 = 21,67

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −31

Линия регрессии

b = −31/17,5 = −1,771

a = 21,67 − (−1,771)·3,5 = 27,87

ŷ = 27,87 − 1,771·x

Найдите x

x = (18 − 27,87)/(−1,771) = 5,57

Ответ

x = 5,57

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1