Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 16, 31, 41, 45, 60, 14.

n = 6

s =

2.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 100 и стандартным отклонением 20. Найдите z-оценку z для результата 90.

μ = 100σ = 20x = 90

z =

3.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите дисперсию Var(X) величины X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,35, 0,15, 0,15, 0,35

Var(X) =

4.ВероятностьСложная

X имеет показанное распределение, а Y = 5X + 4. Найдите стандартное отклонение σ_Y величины Y.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3Y = 5X + 4

σ_Y =

5.Нормальное распределениеСредняя

Массы объектов (болты) независимы и нормально распределены со средним 40 g и стандартным отклонением 1,2 g. Найдите вероятность P того, что общая масса 10 из них превышает 394,3 g. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ = 40 gσ = 1,2 gn = 10> 394,3 g

P =

6.Нормальное распределениеСложная

Распределение «значения роста взрослых мужчин» нормальное: среднее 178 cm, стандартное отклонение 7 cm. Перетащите границу так, чтобы закрашенные нижние 10% были слева от неё. Найдите границу x.

μ = 178 cmσ = 7 cm10%

x = cm

7.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 10 элементов имеет среднее 85,5 и стандартное отклонение s = 1. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите предельную ошибку E 95 % доверительного интервала для среднего.

n = 10x̄ = 85,5s = 195%t(9) = 2,262

E =

8.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 26. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 90 % доверительного интервала для среднего не превышала 1?

σ = 26E = 190%

n =

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Утверждается, что среднее генеральной совокупности равно 250; стандартное отклонение генеральной совокупности известно и равно 2,5. Случайная выборка из 25 наблюдений имеет среднее 249,38. Проверьте H₀: μ = 250 против H₁: μ ≠ 250. Найдите p-значение p.

μ₀ = 250σ = 2,5n = 25x̄ = 249,38H₁: μ ≠ μ₀

p =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

В исследовании выздоравливают 60 из 100 пациентов, получавших лечение A, и 216 из 300 пациентов, получавших лечение B. Используя объединённую долю, найдите статистику критерия z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 60n₁ = 100x₂ = 216n₂ = 300

z =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 6

r² =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 3.

n = 6x = 3

ŷ =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 17,76

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 207/6 = 34,5

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−18,5)² + (−3,5)² + 6,5² + 10,5² + 25,5² + (−20,5)² = 1578

Стандартное отклонение

s = √(1578/5) = 17,76

Ответ

s = 17,76

2.Описательная статистика

Ответ: z = −0,5

Стандартизуйте

z = (90 − 100)/20 = −0,5

Ответ

z = −0,5

3.Вероятность

Ответ: Var(X) = 1,65

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 0·0,35 + 1·0,15 + 2·0,15 + 3·0,35 = 1,5

Среднее квадратов

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,15 + 4·0,15 + 9·0,35 = 3,9

Дисперсия

Var(X) = 3,9 − 1,5² = 1,65

Ответ

Var(X) = 1,65

4.Вероятность

Ответ: σ_Y = 4,023

Разброс X

μ = 0,95, Var(X) = 0,6475, σ_X = 0,8047

Линейное преобразование

σ_Y = |5|·0,8047 = 4,023

Ответ

σ_Y = 4,023

Среднее действительно сдвигается: E(Y) = 5·0,95 + 4 = 8,75.

5.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,9332

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ_T = 400 g, σ_T = 1,2·√10 = 3,795 g

Стандартизуйте

z = (394,3 − 400)/3,795 = −1,5

Вероятность

P = 1 − Φ(−1,5) = 0,9332

Ответ

P = 0,9332

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 169 cm

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева

Φ(z) = 0,1

z из таблицы

z ≈ −1,28

Возврат к исходным единицам

x = 178 − 1,28·7 = 169 cm

Ответ

x = 169 cm

7.Доверительные интервалы

Ответ: E = 0,7153

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 9, t = 2,262

Предельная ошибка

E = 2,262·1/√10 = 0,7153

Ответ

E = 0,7153

8.Доверительные интервалы

Ответ: n = 1830

Выразите n

n = (1,645·26/1)² = 1829

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 1830

Ответ

n = 1830

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: p = 0,215

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Статистика критерия

SE = σ/√n = 2,5/√25 = 0,5

z = (249,38 − 250)/0,5 = −1,24

Площадь хвоста

Φ(1,24) = 0,8925

1 − Φ(1,24) = 0,1075

p-значение

p = 2·0,1075 = 0,215

Ответ

p = 0,215

p > 0,05, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 %.

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = −2,247

Выборочные доли

p̂₁ = 60/100 = 0,6

p̂₂ = 216/300 = 0,72

p̂ = 276/400 = 0,69

Стандартная ошибка при H₀

SE = √(0,69·0,31·(1/100 + 1/300)) = 0,0534

Статистика критерия

z = (0,6 − 0,72)/0,0534 = −2,247

Ответ

z = −2,247

|z| > 1,96, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,9958

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 135/6 = 22,5

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 195

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 545,5

Коэффициент детерминации

r² = 195²/(70·545,5) = 0,9958

Ответ

r² = 0,9958

Прямая объясняет около 99,58% вариации y.

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: ŷ = 12,15

Средние

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 160/6 = 26,67

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 254

Линия регрессии

b = 254/70 = 3,629

a = 26,67 − 3,629·7 = 1,267

ŷ = 1,267 + 3,629·x

Прогноз

ŷ = 1,267 + 3,629·3 = 12,15

Ответ

ŷ = 12,15

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1