Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 49, 52, 48, 41, 38, 18.

n = 6

s =

2.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 100 и стандартным отклонением 10. Какая доля P значений больше 120?

μ = 100σ = 10x = 120

P =

3.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите стандартное отклонение σ величины X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,15, 0,35, 0,15, 0,35

σ =

4.ВероятностьСложная

Испытывают 6 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,25. Какова вероятность P, что откажет не более одного?

n = 6p = 0,25

P =

5.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь между −z и z под стандартной нормальной кривой была равна 0,6319. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,6319

z =

6.Нормальное распределениеСложная

Пусть сроки доставки распределены нормально со средним 32 min и стандартным отклонением 6 min. Найдите значение x, ниже которого лежат 20 % значений (20-й процентиль).

μ = 32σ = 6P = 20%

x = min

7.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 6 элементов имеет среднее 20,5 и стандартное отклонение s = 17,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите верхнюю границу 99 % доверительного интервала для среднего.

n = 6x̄ = 20,5s = 17,599%t(5) = 4,032

верхняя граница =

8.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 10. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 95 % доверительного интервала для среднего не превышала 2?

σ = 10E = 295%

n =

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Две производственные линии изготавливают одну и ту же деталь. Линия 1: выборка из 40 деталей имеет среднюю длину 103,5 mm, известное стандартное отклонение линии 8 mm. Линия 2: выборка из 30 деталей имеет среднее 97,5 mm, известное стандартное отклонение 14 mm. Найдите статистику критерия z для H₀: μ₁ = μ₂, принимая разность как x̄₁ − x̄₂ (линия 1 минус линия 2).

n₁ = 40x̄₁ = 103,5 mmσ₁ = 8 mmn₂ = 30x̄₂ = 97,5 mmσ₂ = 14 mm

z =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Односторонний z-критерий для H₀: μ = 500 против H₁: μ > 500 проводится при α = 0,10 по выборке объёмом 64; стандартное отклонение известно и равно 8. В действительности среднее равно 502,6. Найдите мощность 1 − β критерия в процентах.

μ₀ = 500μ = 502,6σ = 8n = 64α = 0,10

1 − β = %

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 6

r² =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 4,5.

n = 5x = 4,5

ŷ =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 12,43

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 246/6 = 41

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 8² + 11² + 7² + 0² + (−3)² + (−23)² = 772

Стандартное отклонение

s = √(772/5) = 12,43

Ответ

s = 12,43

2.Описательная статистика

Ответ: P = 0,02275

Стандартизуйте

z = 2

Таблица нормального распределения

Φ(2) = 0,9772

P = 1 − 0,9772 = 0,02275

Ответ

P = 0,02275

3.Вероятность

Ответ: σ = 1,1

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 1·0,15 + 2·0,35 + 3·0,15 + 4·0,35 = 2,7

Среднее квадратов

E(X²) = 1·0,15 + 4·0,35 + 9·0,15 + 16·0,35 = 8,5

Дисперсия

Var(X) = 8,5 − 2,7² = 1,21

σ = √1,21 = 1,1

Ответ

σ = 1,1

4.Вероятность

Ответ: P = 0,5339

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Ноль и один отказ

P(X = 0) = 0,75⁶ = 0,178

P(X = 1) = 6·0,25·0,75⁵ = 0,356

Сложите

P = 0,178 + 0,356 = 0,5339

Ответ

P = 0,5339

5.Нормальное распределение

Ответ: z = 0,9

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = (1 + 0,6319)/2 = 0,8159

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,8159 внутри таблицы и считайте z.

z = 0,90

Ответ

z = 0,90

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 26,95 min

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z для процентиля

Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416

Обратно к x

x = 32 + −0,8416·6 = 26,95 min

Ответ

x = 26,95 min

7.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = 49,31

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 5, t = 4,032

Предельная ошибка

E = 4,032·17,5/√6 = 28,81

Интервал

20,5 ± 28,81 → [−8,306, 49,31]

Ответ

верхняя граница = 49,31

8.Доверительные интервалы

Ответ: n = 97

Выразите n

n = (1,96·10/2)² = 96,04

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 97

Ответ

n = 97

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = 2,104

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Стандартная ошибка разности

SE = √(8²/40 + 14²/30) = √8,133 = 2,852

Статистика критерия

z = (103,5 − 97,5)/2,852 = 2,104

Ответ

z = 2,104

|z| > 1,96, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: 1 − β = 90,62 %

Мощность критерия: мощность = 1 − β — вероятность отвергнуть H₀, когда она ложна. Найдите границу x̄c по μ₀ и z_α, затем вычислите вероятность оказаться за x̄c при истинном среднем: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Критическое выборочное среднее

SE = 8/√64 = 1

x̄_c = 500 + 1,282·1 = 501,3

z при истинном среднем

z = (501,3 − 502,6)/1 = −1,318

Мощность

мощность = P(Z > −1,318) = 90,62%

1 − β = 90,62%

Ответ

1 − β = 90,62%

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,9835

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 350/6 = 58,33

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 300

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1307

Коэффициент детерминации

r² = 300²/(70·1307) = 0,9835

Ответ

r² = 0,9835

Прямая объясняет около 98,35% вариации y.

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: ŷ = 22,75

Средние

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 128/5 = 25,6

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −19

Линия регрессии

b = −19/10 = −1,9

a = 25,6 − (−1,9)·3 = 31,3

ŷ = 31,3 − 1,9·x

Прогноз

ŷ = 31,3 + (−1,9)·4,5 = 22,75

Ответ

ŷ = 22,75

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1