Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 60, 57, 15, 30, 47, 26.

n = 6

s =

2.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 500 и стандартным отклонением 100. Какая доля P значений меньше 400?

μ = 500σ = 100x = 400

P =

3.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите дисперсию Var(X) величины X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,2, 0,2, 0,25, 0,05

Var(X) =

4.ВероятностьСложная

X имеет показанное распределение, а Y = 0,5X + 5. Найдите стандартное отклонение σ_Y величины Y.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,1, 0,05, 0,15, 0,35, 0,35Y = 0,5X + 5

σ_Y =

5.Нормальное распределениеСредняя

Пусть результаты IQ-тестов распределены нормально со средним 100 баллов и стандартным отклонением 15 баллов. Какая доля значений лежит между 100 и 115 баллов? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 100σ = 15x₁ = 100x₂ = 115

P =

6.Нормальное распределениеСложная

Диаметры отверстий D нормально распределены со средним 25,02 mm и стандартным отклонением 0,01 mm. Диаметры валов d независимы и нормально распределены со средним 25 mm и стандартным отклонением 0,02 mm. Случайно выбранный вал подходит, если D − d > 0. Найдите вероятность P того, что он подходит. Округлите z до двух знаков после запятой.

отверстие: μ = 25,02 mm, σ = 0,01 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm

P =

7.Доверительные интервалыСредняя

99 % доверительный интервал для среднего, построенный по 64 наблюдениям при известном σ, имеет предельную ошибку 6,6. Какой будет предельная ошибка E₂ 95 % интервала по 256 наблюдениям?

99%n₁ = 64E₁ = 6,695%n₂ = 256

E₂ =

8.Доверительные интервалыСложная

Диаметры 25 обработанных валов имеют выборочное стандартное отклонение 7,9 µm. Считая диаметры нормально распределёнными, найдите границу 95 % доверительного интервала для стандартного отклонения генеральной совокупности — верхняя граница σ. При df = 24 2,5 % распределения χ² лежит ниже 12,401 и 2,5 % — выше 39,364.

n = 25s = 7,9 µmχ² = 12,401, 39,364

σ = µm

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 25 студентов имеет средний балл 504,8 и выборочное стандартное отклонение 20. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 504,8s = 20n = 25

t =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Односторонний z-критерий для H₀: μ = 50 против H₁: μ > 50 проводится при α = 0,05 по выборке объёмом 36; стандартное отклонение известно и равно 6. В действительности среднее равно 52,7. Найдите вероятность ошибки второго рода β в процентах.

μ₀ = 50μ = 52,7σ = 6n = 36α = 0,05

β = %

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5

r =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (3, 15). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 6(3, 15)

e =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 18,19

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 235/6 = 39,17

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 20,83² + 17,83² + (−24,17)² + (−9,167)² + 7,833² + (−13,17)² = 1655

Стандартное отклонение

s = √(1655/5) = 18,19

Ответ

s = 18,19

2.Описательная статистика

Ответ: P = 0,1587

Стандартизуйте

z = −1

Таблица нормального распределения

Φ(−1) = 0,1587

P = 0,1587

Ответ

P = 0,1587

3.Вероятность

Ответ: Var(X) = 1,647

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 0·0,3 + 1·0,2 + 2·0,2 + 3·0,25 + 4·0,05 = 1,55

Среднее квадратов

E(X²) = 0·0,3 + 1·0,2 + 4·0,2 + 9·0,25 + 16·0,05 = 4,05

Дисперсия

Var(X) = 4,05 − 1,55² = 1,647

Ответ

Var(X) = 1,647

4.Вероятность

Ответ: σ_Y = 0,6245

Разброс X

μ = 3,8, Var(X) = 1,56, σ_X = 1,249

Линейное преобразование

σ_Y = |0,5|·1,249 = 0,6245

Ответ

σ_Y = 0,6245

Среднее действительно сдвигается: E(Y) = 0,5·3,8 + 5 = 6,9.

5.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,3413

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (100 − 100)/15 = 0

z₂ = (115 − 100)/15 = 1

Площадь между

P = Φ(1) − Φ(0) = 0,8413 − 0,5 = 0,3413

Ответ

P = 0,3413

6.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,8133

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение разности

μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,02236 mm

Стандартизуйте

z = (0 − 0,02)/0,02236 = −0,89

Вероятность

P = 1 − Φ(−0,89) = 0,8133

Ответ

P = 0,8133

7.Доверительные интервалы

Ответ: E₂ = 2,511

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Отношение предельных ошибок

E₂/E₁ = (1,96/2,576)·√(64/256) = 0,3804

Новая предельная ошибка

E₂ = 6,6·0,3804 = 2,511

Ответ

E₂ = 2,511

8.Доверительные интервалы

Ответ: σ = 10,99 µm

Интервал для дисперсии: (n − 1)s²/σ² имеет распределение χ² с n − 1 степенями свободы. 95 % интервал для σ² простирается от (n − 1)s², делённого на верхнее значение χ² (выше него 2,5 %), до (n − 1)s², делённого на нижнее значение χ² (ниже него 2,5 %); интервал для σ получают извлечением квадратного корня из обеих границ. Он несимметричен относительно s.

Сумма квадратов

(n − 1)s² = 24·7,9² = 1498

Границы для σ²

1498/39,364 = 38,05

1498/12,401 = 120,8

Граница для σ

σ = √120,8 = 10,99 µm

Ответ

σ = 10,99 µm

95 % интервал для σ: [6,169, 10,99] µm.

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 1,2

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 20/√25 = 20/5 = 4

Статистика критерия

t = (504,8 − 500)/4 = 1,2

Ответ

t = 1,2

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| < 2.064, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: β = 14,57 %

Мощность критерия: мощность = 1 − β — вероятность отвергнуть H₀, когда она ложна. Найдите границу x̄c по μ₀ и z_α, затем вычислите вероятность оказаться за x̄c при истинном среднем: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Критическое выборочное среднее

SE = 6/√36 = 1

x̄_c = 50 + 1,645·1 = 51,65

z при истинном среднем

z = (51,65 − 52,7)/1 = −1,055

Ошибка второго рода

мощность = P(Z > −1,055) = 85,43%

β = 100% − 85,43% = 14,57%

Ответ

β = 14,57%

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9143

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 95/5 = 19

ȳ = 264/5 = 52,8

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 126

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 474,8

Коэффициент корреляции

r = 126/√(40·474,8) = 0,9143

Ответ

r = 0,9143

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = 3,386

Средние

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 153/6 = 25,5

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 243

Линия регрессии

b = 243/70 = 3,471

a = 25,5 − 3,471·7 = 1,2

ŷ = 1,2 + 3,471·x

Прогнозируемое значение

ŷ = 1,2 + 3,471·3 = 11,61

Остаток

e = 15 − 11,61 = 3,386

Ответ

e = 3,386

Точка лежит выше прямой.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1