Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 38, 22, 35, 13, 23.

n = 5

s =

2.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 70 и стандартным отклонением 10. Найдите z-оценку z для результата 62.

μ = 70σ = 10x = 62

z =

3.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите стандартное отклонение σ величины X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,15, 0,35, 0,1, 0,1

σ =

4.ВероятностьСложная

Игра стоит €3. Вы выигрываете €15 с вероятностью 0,25 и €150 с вероятностью 0,01; в остальных случаях вы ничего не выигрываете. Ставка не возвращается. Найдите ожидаемый чистый выигрыш E(G) за одну игру.

ставка = €3€15: p = 0,25€150: p = 0,01

E(G) = €

5.Нормальное распределениеСредняя

Массы объектов (болты) независимы и нормально распределены со средним 40 g и стандартным отклонением 1,2 g. Найдите вероятность P того, что общая масса 10 из них меньше 394,3 g. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ = 40 gσ = 1,2 gn = 10< 394.3 g

P =

6.Нормальное распределениеСложная

Распределение «массы пакетов» нормальное: среднее 250 g, стандартное отклонение 5 g. Перетащите границу так, чтобы закрашенные верхние 80% были справа от неё. Найдите границу x.

μ = 250 gσ = 5 g80%

x = g

7.Доверительные интервалыСредняя

Сравнивается время работы аккумулятора двух моделей телефонов. Модель 1: 30 телефонов, среднее 84,5 h, известное стандартное отклонение 4 h. Модель 2: 100 телефонов, среднее 83 h, известное стандартное отклонение 13 h. Найдите верхнюю границу 90 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 30x̄₁ = 84,5 hσ₁ = 4 hn₂ = 100x̄₂ = 83 hσ₂ = 13 h90%

верхняя граница = h

8.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 35. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 90 % доверительного интервала для среднего не превышала 0,5?

σ = 35E = 0,590%

n =

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 100 студентов имеет средний балл 200,8 и выборочное стандартное отклонение 4. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 200,8s = 4n = 100

t =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Выборка из 25 измерений имеет среднее 119,7. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 8. Найдите нижнюю границу L 95 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 119,7σ = 8n = 2595%

L =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 6Σx = 21Σy = 120Σx² = 91Σy² = 2534Σxy = 373

r =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 72?

n = 6ŷ = 72

x =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 10,23

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 131/5 = 26,2

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 11,8² + (−4,2)² + 8,8² + (−13,2)² + (−3,2)² = 418,8

Стандартное отклонение

s = √(418,8/4) = 10,23

Ответ

s = 10,23

2.Описательная статистика

Ответ: z = −0,8

Стандартизуйте

z = (62 − 70)/10 = −0,8

Ответ

z = −0,8

3.Вероятность

Ответ: σ = 1,284

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 0·0,3 + 1·0,15 + 2·0,35 + 3·0,1 + 4·0,1 = 1,55

Среднее квадратов

E(X²) = 0·0,3 + 1·0,15 + 4·0,35 + 9·0,1 + 16·0,1 = 4,05

Дисперсия

Var(X) = 4,05 − 1,55² = 1,648

σ = √1,648 = 1,284

Ответ

σ = 1,284

4.Вероятность

Ответ: E(G) = 2,25 €

Чистые исходы

G: 12 (p = 0,25), 147 (p = 0,01), −3 (p = 0,74)

Математическое ожидание

E(G) = 12·0,25 + 147·0,01 − 3·0,74 = 2,25 €

Ответ

E(G) = 2,25 €

Положительное значение означает, что в среднем вы выигрываете деньги.

5.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,06681

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ_T = 400 g, σ_T = 1,2·√10 = 3,795 g

Стандартизуйте

z = (394,3 − 400)/3,795 = −1,5

Вероятность

P = Φ(−1,5) = 0,06681

Ответ

P = 0,06681

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 245,8 g

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева

Φ(z) = 0,2

z из таблицы

z ≈ −0,84

Возврат к исходным единицам

x = 250 − 0,84·5 = 245,8 g

Ответ

x = 245,8 g

7.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = 3,953 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точечная оценка

x̄₁ − x̄₂ = 84,5 − 83 = 1,5

Стандартная ошибка

SE = √(4²/30 + 13²/100) = 1,491

Предельная ошибка

E = 1,645·1,491 = 2,453

Интервал

1,5 ± 2,453 → [−0,9528, 3,953]

Ответ

верхняя граница = 3,953 h

Интервал содержит 0, поэтому данные не показывают значимого различия.

8.Доверительные интервалы

Ответ: n = 13260

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Выразите n

n = (1,645·35/0,5)² = 13260

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 13260

Ответ

n = 13260

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 2

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 4/√100 = 4/10 = 0,4

Статистика критерия

t = (200,8 − 200)/0,4 = 2

Ответ

t = 2

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| > 1,984, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: L = 116,6

Предельная ошибка

E = 1,96·8/√25 = 3,136

Граница интервала

L = 119,7 − 3,136 = 116,6

Ответ

L = 116,6

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = −0,9706

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Центрированные суммы

S_xy = 373 − 21·120/6 = −47

S_xx = 91 − 21²/6 = 17,5

S_yy = 2534 − 120²/6 = 134

Коэффициент корреляции

r = −47/√(17,5·134) = −0,9706

Ответ

r = −0,9706

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 5,549

Средние

x̄ = 27/6 = 4,5

ȳ = 407/6 = 67,83

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 69,5

Линия регрессии

b = 69,5/17,5 = 3,971

a = 67,83 − 3,971·4,5 = 49,96

ŷ = 49,96 + 3,971·x

Найдите x

x = (72 − 49,96)/3,971 = 5,549

Ответ

x = 5,549

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1