Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 23, 33, 35, 52, 42.

n = 5

s =

2.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 100 и стандартным отклонением 10. Какая доля P значений меньше 115?

μ = 100σ = 10x = 115

P =

3.ВероятностьСредняя

Правильный кубик бросают 7 раз. Какова вероятность P выбросить хотя бы одну шестёрку?

n = 7

P =

4.ВероятностьСложная

X имеет показанное распределение, а Y = 3X − 3. Найдите стандартное отклонение σ_Y величины Y.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,05, 0,25, 0,35, 0,35Y = 3X − 3

σ_Y =

5.Нормальное распределениеСредняя

Пусть результаты IQ-тестов распределены нормально со средним 100 баллов и стандартным отклонением 15 баллов. Какая доля значений лежит между 100 и 123,25 баллов? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 100σ = 15x₁ = 100x₂ = 123,25

P =

6.Нормальное распределениеСложная

Пусть сроки службы батареек распределены нормально со средним 500 h и стандартным отклонением 40 h. Найдите значение x, ниже которого лежат 90 % значений (90-й процентиль).

μ = 500σ = 40P = 90%

x = h

7.Доверительные интервалыСредняя

Сравнивается время работы аккумулятора двух моделей телефонов. Модель 1: 100 телефонов, среднее 51 h, известное стандартное отклонение 9 h. Модель 2: 60 телефонов, среднее 50,5 h, известное стандартное отклонение 12 h. Найдите предельную ошибку E 99 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 100x̄₁ = 51 hσ₁ = 9 hn₂ = 60x̄₂ = 50,5 hσ₂ = 12 h99%

E = h

8.Доверительные интервалыСложная

Диаметры 15 обработанных валов имеют выборочное стандартное отклонение 2,3 µm. Считая диаметры нормально распределёнными, найдите границу 95 % доверительного интервала для стандартного отклонения генеральной совокупности — верхняя граница σ. При df = 14 2,5 % распределения χ² лежит ниже 5,629 и 2,5 % — выше 26,119.

n = 15s = 2,3 µmχ² = 5,629, 26,119

σ = µm

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 25 студентов имеет средний балл 497,8 и выборочное стандартное отклонение 8. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 497,8s = 8n = 25

t =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Односторонний z-критерий при α = 0,05 должен обнаруживать сдвиг среднего на 3 единиц с мощностью 90 %. Стандартное отклонение равно 9. Найдите минимальный объём выборки n.

α = 0,05мощность = 90%δ = 3σ = 9z_α = 1,645z_β = 1,282

n =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 5

r² =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 92?

n = 6ŷ = 92

x =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 10,79

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 185/5 = 37

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−14)² + (−4)² + (−2)² + 15² + 5² = 466

Стандартное отклонение

s = √(466/4) = 10,79

Ответ

s = 10,79

2.Описательная статистика

Ответ: P = 0,9332

Стандартизуйте

z = 1,5

Таблица нормального распределения

Φ(1,5) = 0,9332

P = 0,9332

Ответ

P = 0,9332

3.Вероятность

Ответ: P = 0,7209

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Противоположное событие

P(нет шестёрки) = (5/6)⁷ = 0,2791

P = 1 − 0,2791 = 0,7209

Ответ

P = 0,7209

4.Вероятность

Ответ: σ_Y = 5,367

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Разброс X

μ = 4, Var(X) = 3,2, σ_X = 1,789

Линейное преобразование

σ_Y = |3|·1,789 = 5,367

Ответ

σ_Y = 5,367

Среднее действительно сдвигается: E(Y) = 3·4 − 3 = 9.

5.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,4394

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (100 − 100)/15 = 0

z₂ = (123,25 − 100)/15 = 1,55

Площадь между

P = Φ(1,55) − Φ(0) = 0,9394 − 0,5 = 0,4394

Ответ

P = 0,4394

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 551,3 h

z для процентиля

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

Обратно к x

x = 500 + 1,282·40 = 551,26 h

Ответ

x = 551,26 h

7.Доверительные интервалы

Ответ: E = 4,615 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точечная оценка

x̄₁ − x̄₂ = 51 − 50,5 = 0,5

Стандартная ошибка

SE = √(9²/100 + 12²/60) = 1,792

Предельная ошибка

E = 2,576·1,792 = 4,615

Ответ

E = 4,615 h

Интервал содержит 0, поэтому данные не показывают значимого различия.

8.Доверительные интервалы

Ответ: σ = 3,627 µm

Интервал для дисперсии: (n − 1)s²/σ² имеет распределение χ² с n − 1 степенями свободы. 95 % интервал для σ² простирается от (n − 1)s², делённого на верхнее значение χ² (выше него 2,5 %), до (n − 1)s², делённого на нижнее значение χ² (ниже него 2,5 %); интервал для σ получают извлечением квадратного корня из обеих границ. Он несимметричен относительно s.

Сумма квадратов

(n − 1)s² = 14·2,3² = 74,06

Границы для σ²

74,06/26,119 = 2,835

74,06/5,629 = 13,16

Граница для σ

σ = √13,16 = 3,627 µm

Ответ

σ = 3,627 µm

95 % интервал для σ: [1,684, 3,627] µm.

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −1,375

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 8/√25 = 8/5 = 1,6

Статистика критерия

t = (497,8 − 500)/1,6 = −1,375

Ответ

t = −1,375

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| < 2.064, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 78

Объём выборки для критерия: чтобы обнаружить истинный сдвиг δ с мощностью 1 − β одностронним z-критерием на уровне α, стандартная ошибка должна удовлетворять δ = (z_α + z_β)·σ/√n, поэтому n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² с округлением вверх.

Выразите n

n = ((1,645 + 1,282)·9/3)² = 77,11

Округлите вверх

n = 78

Ответ

n = 78

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,862

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 86/5 = 17,2

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −32

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 118,8

Коэффициент детерминации

r² = −32²/(10·118,8) = 0,862

Ответ

r² = 0,862

Прямая объясняет около 86,2% вариации y.

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 7,953

Средние

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 476/6 = 79,33

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 454

Линия регрессии

b = 454/70 = 6,486

a = 79,33 − 6,486·6 = 40,42

ŷ = 40,42 + 6,486·x

Найдите x

x = (92 − 40,42)/6,486 = 7,953

Ответ

x = 7,953

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1